第一节中心投影学案.ppt

* 花 香 蝶 舞 射 影 平 面 §1 中心投影与无穷远元素 研究对象：物体在灯光照射下的变化规律。 第二章 投影中心 投射线 P的投影 影消点 影消点 问题：中心投影是数学意义下的对应吗? 原因分析： 如图所示，P0 无象点(因此称为 影消点)，其原因是 OP0// l ’ ，从而 OP0与l ’无交点，故中心投影不是数学意义下的对应。 处理方法：取消“平行线无交点”的约定。 如图，当时 ， ，以P(θ)的“极限点”作 为平行直线的“交点”，记作P∞（称为无穷远点），其几 何表示如图所示。 问题：平行直线的交点能引进几个？ （一个。原因是两不同的直线只能有一个交点。） 评注：上述无穷远点的引入过程是在深入研究以O点为 中心的线束中的直线与非线束中的直线的交点的基础上，来 探索如何引入平行直线的交点比较合适这一问题的。这充分 地反映了继承传统与发扬广大的关系。 无穷远点的引进是一个创新的过程，需要大胆的想象力。 而直线上的无穷远点只能引进一个则是原来的原则“两直线只 有一个交点”的要求所至。无穷远点根据研究需要而引入，又 是原系统的规则的延伸，从而“无穷远点”又受到原系统的规 则的“约束”，这充分体现了继承与发展的关系。 请自行考虑二维中心投影的相应问题。 2． 无穷远元素 规定一 在平面内对任何一组平行线引入唯一一点叫做无 穷远点(记作P∞)与之对应，此点在组中每一直线上而不在组外 的任何直线上。 规定二 平面内无穷远点的集合是一条直线，叫做无穷远 直线，记作l∞。 规定三 空间里所有无穷远点的集合是一个平面，叫做无 穷远平面，记作π∞ 。 在这些规定下可以证明： (1)空间里任一组平行线有且只有一个公共点——无穷远点。 (2)一直线与它的平行平面交于一个无穷远点。 (3)一组平行平面相交于一条无穷远直线。 3. 一维与二维射影空间的概念与模型 欧氏直线 仿射直线 射影直线 几何解释： 添加无穷远点 取消新旧点的差别 （1）射影直线模型 命题：射影直线是封闭的。 注：射影直线模型的重要性 （i）模型建立了直线和圆之间的点的一一对应，根据数学思想， 可以将直线和圆看成等同而互相表示，从而直线上某些性质可以 通过中心投影“搬”到圆上，进而搬到二次曲线上，这一点将会在 二次曲线的射影理论一章中得到充分的体现。 （ii）模型建立了射影几何与欧氏几何的关系，射影几何可以在 欧氏几何中“引入”无穷远元素而得到，那么，反其道而行之，即 知欧氏几何也可以从射影几何中“去掉”一部分元素而得到，从而 为研究欧氏几何提供了全新的方法。作为应用，使得解析几何中 许多问题象平面几何一样可以通过综合法加以证明。 （2）射影平面模型 如图，建立半球面O与平面间的中心投影，把半球面 上的点P投射为平面上的点P’。规定对径点（直径的两个 端点）表示同一个无穷远点。由此知射影平面是封闭的。 评注：由于无穷远元素的引入，使得欧几里德几何 中的某些命题在射影几何中的叙述大为简化，如 命题1 若三圆两两相交，则三弦所在的直线共点 或平行。 命题2 若三平面两两相交，则三交线共点或平行。 在射影几何中的叙述为 命题1’ 若三圆两两相交，则三弦所在的直线共点。 命题2’ 三平面两两相交而成的三条交线共点。 5. 图形的射影性质 透视对应：射影直线（平面）间的中心投影叫做透 视对应。 图形的射影性质：图形经过（任何）透视对应后保 持不变的性质（量）叫做图形的射影性质（不变量）。 显然，在透视对应下，有 (1) 点变为点，直线变为直线； （同素性） (2) 点在直线上变为点在直线上。 （结合性） *