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例8：求如图所示阶梯函数的拉氏变换 解 当 时 7、阶梯函数的象函数 8、关于 的位移性质 如果 且 ，则对任意的复常数 证明：事实上 例2-16 求下列函数的象函数 解：(1) 由于 由位移性质 再由原象函数的微分性质 解：(2) 由于 由象函数的微分性质 再由位移性质 第二章 拉普拉斯变换 §1 拉普拉斯变换的定义 定义：设函数 当 时有定义，积分 ( 是一个复数)在 的某一区域内收敛，则称此积分 所确定的函数 为 的拉普拉斯变换，记为 即 也称为 的象函数。若 是 的拉普拉斯变换， 为 的拉普拉斯逆变换，记为 称 也称为 的原象函数。 1、原象函数和象函数 例2-1：求单位函数 的象函数。 解： 例2-2：求 的象函数( 为复常数) 解： 2、拉普拉斯的存在定理 (1) 及其 阶导数,当 时是单值连续或者 是分段连续的 称满足上述条件的原象函数 为 类，记作 关于实变量 的函数 满足下列条件 (2)当 时， 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数 ,使 。(满足此条件 的函数称它的增长是指数级的, 为它的增长指数)。 本书中，为了记号方便，象函数和原象函数之间的对应符号用 表示并记作 或 存在性定理 若关于实变量 的函数 ,即满足上述条件(1)(2), 则 的拉氏变换 在右半平面 上一定存在。右端的积分在 上绝对收敛且一致收敛，并且 在右半平面 内为解析函数,且 此定理的条件是充分的。物理学和工程技术中的常见 函数大都能够满足这两个条件。 t充分大后 它们的增长是指数级的。 3、象函数的基本性质 (1) 唯一性定理 如果 并且 则对应的原象函数在除去可能有的间断点以外所有点上相等 即 (2)象函数的解析性定理 由存在性定理可知，象函数 当 时是解析函数，即它可以展成幂级从而在级数的收敛域内可微分或积分任意次. (3) 线性性 如果 并且 则 (4) 4、几个简单函数的象函数 1. 单位函数 的象函数 由例2-1知， 2. 指数函数 的象函数 由例2-2知， 3. 三角函数的象函数 4. 双曲函数的象函数 §2 拉普拉斯变换的性质 (1)原象函数的微分性 证 1、微分性 若 则 例2-3：已知 ,求 的象函数 解 特别当 时，有 一般地，对任意的自然数 ，若 ,则有 例2-4：用微分性求 的象函数 解 即 (2)象函数的微分性 若 ， 一般地 由存在性定理证明即可得出结论 例：求 同理 则 例2-5求 (k为实数) 的象函数 2、积分性 若 ， 证 反复利用积分性质可得 (1)原象函数的积分性 则 例：求 的象函数 解 (2)象函数的积分性 则 例2-6：求 的象函数 解 若 ， 3、相似定理 若 ，且 ，则对任意的常数 总有 证 令 则 例2-7： 试求 的象函数 解： 4、延迟性(关于时间t的位移性质) 若 ,又 时， ，则 对任一非负实数 ,有 证 由于 将函数 与 相比， 是从 开始 有非零值的，而 是从 开始有非零值的 即延迟了一个时间 ，从图象上看 的图象 是由 的图象沿 轴向右平行移动 所得到。延 迟性表明，时间函数延迟 的拉普拉斯变换等于它的 象函数乘以因子 。 例2-8 求 的象函数 解法1： 因 利用线性性得到 解法2： 令 而 于是有 借助于延迟性定理 大家想一下，解法1和解法2哪个是正确的？为什么？ 注意：延迟性定理的确切表达或者是不容易产生误解的表达应如下 若 则 例2-9：求函数 的拉氏变换. 1