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一般映射的描述:  一、结合率 证明　对n用数学归纳法(第二型)． (I) n=2,3，定理是对的． (II)假定个数 ，定理是对的．在这个假定之下，如果 我们能够证明:对于一个任意的 来说 … … (一个固定的结果)定理也就证明了. 这一个 是经过一种加括号的步骤所得来的结 果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算: 这里, 是前面的若干个,假定是 个元,,…，经过一个加括号的步骤所得 的结果, 是其余的 个元 ，经过一个加括号的 步骤所得的结果。因为 和 都 ,由归纳法的假定, 情况1 假定 ,那么上式就是要证明的． 情况2 假定 ，那么 即（１）式仍然成立．证完。 结合律成立，保证了可以应用 个符号。结合律的重要也就在此． 二、交换率 §5 同态与同构 如何比较两个代数系统? 回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合. （同构） §５．变换群 例１　 ＝｛１，２｝． ： 　 ， ：　　 ， ：　　 ， ：　　 ， { ， }构成群（双射变换群） 定理３：任何一个群都同一个双射变换群 同构．(Cayley定理） ＃ §6.置换群 定义1:　 定义2:　 的一个把变成 变到 ， 变到 ，…， 变到 ，而使得其余的元，假如还有的话 ，保持不变的置换，叫做一个 循环置换．这样的一个置换我们用符号 ， ，…或 来表示．2-循环称为对换. 例1： 我们看 ，这里 证：1）归纳法． 1.当 不使任何元变动的时候，就是当 是 恒等置换的时候，定理是对的． 2. 假定对于最多变动 个元的 定理是对的．现在我们看一个变动 个元的 ．我们任意取一个被 变动的元 ，从 出发我们找 的象 ， 的象 ，这样找下去，直到我们第一次找到一个 为止，这个 的象不再是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元: 因为我们一共只有 个元，这样的 是一定存在的．我们说 ．因为 已经是 的象，不能再是 的象．这样，我们得到 因为 只使 个元变动， ，假如 ， 本身已经是一个循环置换，我们用不着再证明 什么．假如 ，由公式（1）， 但 只使得 个元变动，照归纳法的假定，可以写成不相连的循环置换的乘积： 在这些 里 不会出现.不然的话, 那么 同 不会再在其余的 中出现, 也必使 但我们知道, 使得 不动,这是一个矛盾.这样, 是不相连的循环置换的乘积: 证完 例2： 的全体元用循环置换的方法写出来是 ， ， ， ， ， ； 定义1： 群 的一个元素 ,使得 的最小的正整数 叫做 的阶．若是这样 的一个 不存在，我们说， 是无限阶的． 的阶用符号 表示 注 (1) 当 为加群时,其运算记为加法, 单位元为0,则 的最小正整数 为元素a的阶。 (3) 群的阶和元素的阶不