第四章 非完整样本数据情况表格(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)第四章 非完整样本数据情况下表格(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)第四章 非完整样本数据情况下表格(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)第四章 非完整样本数据情况下表格(生存模型-中国精算研究院,周渭兵).pptVIP

1040 1120 1191 1307 1612 10 8 7 7 8 （0,1] （1,2] （2,3] （3,4] （4,5] 暴露数 死亡人数 区间 1、定义.若总体X的密度函数为p(x; θ1, θ2,…, θk)，其中θ1, θ2,…, θk是未知参数， (X1, X2,…, Xn)是来自总体X的样本，称?? ?? ?????????????????????????????????????? 为θ1,θ2,…,θk的似然函数．其中x1,x2,…,xn为样本观测值． 若有 ????? 使得?? ? ?????????????????????????? ?成立, 则称 ??????????? ?????为θj极大似然估计值(j=1,2,…,k). 特别地,当k=1时,似然函数为: ???????????? ??????????????? ????? ?????????????????? 根据微积分中函数极值的原理，要求 ? 使得上式 成立，只要令? ?? ??????????????? 其中L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ). ?????????????????? 解之，所得解 ?? 为极大似然估计，上式称为似然方程. ??? ? 又由于 ???? 与 ?????????????????????????????? ??的极值点相同, 所以根据情况,也可以求出 ???????????????????的解 ??作为极 大似然估计. 2、求极大似然函数估计值的一般步骤 （1） 写出似然函数； 　　（2） 对似然函数取对数，并整理； 　　（3） 求导数 ； 　　（4） 解似然方程 3、分类 （1）完全数据情况：如果知道确切的死亡年龄，将确切死亡年龄用于估计。 （2）部分数据情况：估计只利用区间(x,x+1]上的死亡人数。 4、求极大似然函数估计值的特殊步骤 （1）先确定是完全数据还是部分数据。 （2）写出似然函数 （3）求解似然函数 （4）确定死亡分布假设，求qx. 0 1 1 1 0 1 0.5 0.6 0.8 1 0 0 0 0.4 0.4 1 2 3 4 5 di ti ri i 1 如果观察对象i在区间(x,x+1]上死亡 0 其他 * 第四章 非完整样本数据情况下表格生存模型的估计 4.1 观察期年龄 一、什么是不完整的样本数据 在某一确定观察期内，对某一对象的观察有的从初期开始，有的从中期开始（中途加入），有的活着离开，有的生存到观察期末，有的在观察期内死亡，这种情况称为不完整的样本数据。 二、“退出”“结束”。 观察期内活着离开的行为叫退出。 生存到观察期末的现象叫结束。 观察期末的年龄叫计划结束年龄。 对于第i个成员，我们给出进入观察的年龄 和 计划结束年龄 ，这种观察年龄长度 4.2 单风险和双风险环境 - - 1987.10.1 - 1987.4.22 1957.7.1 1957.4.1 1957.1.1 1956.7.1 1956.4.1 1 2 3 4 5 死亡日期 生日 观察者 32.75 32.6 32.5 32.25 死亡年龄 4 3 2 1 *