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第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 简单的数值方法 二 梯形方法 三 单步法的局部截断误差与阶 四 改进的欧拉公式 9.3 龙格-库塔方法 9.3.2 二阶显式R-K方法 9.3.3 三阶与四阶显式R-K方法 9.3.4 变步长的龙格-库塔方法 要得到三阶显式R-K方法，必须 . 此时（3.4）， （3.5）的公式表示为 （3.11） 其中 及 均为待定参数，公式 （3.11）的局部截断误差为 只要将 按二元函数泰勒展开，使 ，可 得待定参数满足方程 （3.12） 这是8个未知数6个方程的方程组，解也不是唯一的. 可以得 到很多公式. 满足条件（3.12）的公式（3.11）统称为三阶R-K公式. 一个常见的公式为 此公式称为库塔三阶方法. 继续上述过程，经过较复杂的数学演算，可以导出各 种四阶龙格-库塔公式，下列经典公式是其中常用的一个： 四阶龙格-库塔方法的每一步需要计算四次函数值 ，可以证明其局部截断误差为 例3 设取步长 ，从 直到 用四阶龙格 -库塔方法求解初值问题 解 这里，经典的四阶龙格-库塔公式（3.13）具有 形式 本章着重考察一阶方程的初值问题 （1.1） （1.2） 只要函数 适当光滑——譬如关于 满足利普 希茨(Lipschitz）条件 （1.3） 理论上就可以保证初值问题（1.1），（1.2）的解 存在并且唯一. 所谓数值解法，就是寻求解 在一系列离散节点 上的近似值 . 相邻两个节点的间距 称为步长. 如不特别说明，总是假定 为定数， 这时节点为 . 首先，要对方程（1.1）离散化，建立求数值解的递 推公式. 一类是计算 时只用到前一点的值 ，称为单步 法. 另一类是用到 前面 点的值 ， 称为 步法. 其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解 与 精确解 的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算 稳定性等问题. 一 欧拉法与后退的欧拉法 （1.1） （1.2） 如果对方程（1.1）从 到 积分，得 （1.4） 右端积分用左矩形公式 近似，再以 代替 代替 得到欧拉公式 （1.5） 图8-1 若初值 已知，则依公式（1.5）可逐步算出 欧拉法又称折线法，几何意义如下图 解 欧拉公式的具体形式为 取步长 ，计算结果见表9-1. 例1 求解初值问题 精确解： 如果在（1.4）中右端积分用右矩形公式 近似，则得另一个公式 （1.6） 称为后退的欧拉法. 后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后者是 关于 的一个直接的计算公式，这类公式称作是显式的； （1.4） 然而公式（1.6）的右端含有未知的 ，它实际上是关于 的一个函数方程，这类公式称作是隐式的. 隐式方程（1.6）通常用迭代法求解. 先用欧拉公式 给出迭代初值 ，用它代入（1.6）式的右端，使之转化 为显式，直接计算得 然后再用 代入（1.5）式，又有 如此反复进行，得 （1.7） 由于 对 满足利普希茨条件（1.3）. 由（1.7）减 （1.6）得 由此可知，只要 迭代法（1.7）就收敛到解 . 为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式（1.4）右 端积分中若用梯形求积公式近似，并用 代替 代替 ，则得 （1.8） 称为梯形方法. 梯形方法是隐式单步法，可用迭代法求解. 同后退的欧拉方法一样，仍用欧拉方法提供迭代初值， 则梯形法的迭代公式为 （1.4） （1.9） 为了分析迭代过程的收敛性，将（1.8）式与（1.9）式 相减，得 于是有 式中 为 关于 的利普希茨常数. 如果选取 充分小，使得 则当 时有 ，这说明迭代过程（1.