数值计算方法课件-ch5 微分方程数值解法—5.1 引言数值计算方法课件-ch5 常微分方程数值解法—5.1 引言数值计算方法课件-ch5 常微分方程数值解法—5.1 引言数值计算方法课件-ch5 常微分方程数值解法—5.1 引言.pptVIP

华长生制作 第五章 常微分方程 数值解法 5.1 引言 第五章 常微分方程数值解法 5.1 引言(基于数值积分的求解公式) 5.2 Runge-Kutta法 本章要点 本章主要研究基于积分数值解法的常微分方程数值解，主要方法有： ? Euler方法； Simpson方法； Runge-Kutta方法； (※) 5.1 引言(基于数值积分的求解公式) 在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解常微分方程的初值问题。这类问题的最简单形式是本章将要重点介绍的一阶微分方程的初值问题： 问题(1)可以化为等价的积分方程： 常微分方程的解法： 2）数值解法：实际问题中归结出来的无法用解析法求解的微分方程往往用数值解法来求. 1）解析法：只能用来求解一些特殊类型的微分方程； 这样就将求解(1)的问题变为计 算(1)在节点上的近似值问题，这就将数学问题转化为数值问题. 用数值方法求解常微分方程,往往采用等分区间取节点的方法对数学问题进行数值化(即离散化),即将求解区间[a,b]n等分，令 则： 从微分方程的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 为了适应计算机上解题的需要，初值问题(1)的解法有个基本特点：具有递推性.即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 这种顺着节点排列顺序一步步地向前推进的求解方法,通常称为步进法. -------- (1) 考虑初值问题 对上式在区间 上积分 -------- (2) 一、基于数值积分的常微分方程数值解法 因此,若假设 已知,则计算 只需计算积分 将以上求积公式代入(2)式, 并加以处理, 得求解公式： 矩形求积公式 的计算: 假设已知 梯形求积公式 误差为： Simpson 求积公式 误差为： (一) Euler求解公式 由 可得 令 --------(3) (3)式称为矩形公式(矩形法),即 Euler 求解公式 以及 令 注：由于矩形求积公式精度很低,故 Euler 求解公式精度不高。 显式公式 (二) 梯形求解公式 由 可得 令 ------ (4) 称(4)式为梯形求解公式(梯形法) 以及 隐式公式 显式与隐式相结合，将隐式中等式右端隐函数的未知量 用已知函数值 近似表示后，再进行后续计算，称为隐式的显化。并称由显式求得的值为预测值，隐式求得的值为校正值，这种求解方法统称为预测—校正系统。 隐式的显化： ------ (4) 先使用Euler 公式 求出 的预测值 ,把 带入到梯形公式中求得 。 梯形求解公式的显化： ------(5) 以上公式称为改进的 Euler 求解公式(改进 Euler 法),即 ------(6) 即： 二、截断误差 定义1. 称 为计算 yk 的求解公式第 k 步的局部截断误差. 根据上章介绍的梯形求积公式的余项可知，解微分方程的梯形公式的第 k 步的截断误差为： 二、截断误差 定义2. 设 ei(h) (i=1,2,…,k) 为求解公式第 i 步的局部截断误差,且 则称 Ek(h) 为该求解公式第k步的累计截断误差,即求解公式在 xk 点上的整体截断误差. 定义3. 若求解公式的局部截断误差为 则称该求解公式具有 p 阶精度. 一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有 例3. 用 Euler 法、梯形法和改进 Euler 法求解初值问题,并比较结果的精度 解: 对上式取 k=1,2,3,4,5, 结果如表 1-1 所示. (1) Euler 公式： 计算所需的步数 (2)梯形公式： 其余结果见表1-1. (3)改进 Euler 公式: 其余结果见表1-1. Euler 法 梯形法 改进Euler 法 表1-1 精度由低到高的顺序为： 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.000 000 1.010 000 1.029 000 1.056 100 1.090 490 1.004 762 1.018 594 1.040 633 1.070 096 1.106 278 1.000 000 1.010 000 1.029 000 1.056 100 1.090 490 4.8X10-3 8.7X10-3 1.2X10-2 1.4X10-2 1.6X10-2 7.5X10-4 1.4X10-4 1.9X10-4 2.2X10-4 2.5X10-4 1.6X10-4 2.9X10-4 4.0X10-4 4.8X10-4 5.5X10-4 Euler 法 梯形公式 改进Euler 法 (三)Simpson 求解公式 将 S