专题一矩阵与变换.doc

专题一 矩阵与变换 一．《考试说明》呈现 内 容 要 求 A B C 矩阵与变换 矩阵的概念 √ 二阶矩阵与平面向量 √ 常见的平面变换 √ 矩阵的复合与矩阵的乘法 √ 二阶逆矩阵 √ 二阶矩阵的特征值和特征向量 √ 二阶矩阵的简单应用 √ 二．主要内容解读 1．矩阵变换 注意：矩阵与矩阵意义不同 是先施加矩阵B对应的变换，再施加矩阵A对应的变换； 是先施加矩阵A对应的变换，再施加矩阵B对应的变换． 2．矩阵的运算、逆矩阵 逆矩阵的求法：（1）定义法；（2）公式法． 3．特征值和特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得，那么称为的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量． 特征值和特征向量的求法：（1）写出A的特征多项式，（2）求出的根，（3）将代入的二元一次方程组，（4）写出满足条件的一组非零解． 三．高考试题展示 1．（08年江苏）在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求的方程． [解析]本题主要考察曲线在矩阵变换下的变化特点，考察运算求解能力．满分10分． 解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 ，则有，即，所以 又因为点在椭圆上，故，从而， 所以，曲线的方程是：． 2．（09年江苏）求矩阵的逆矩阵． [解析] 本题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分． 解：设矩阵A的逆矩阵为则 即故 解得：， 从而A的逆矩阵为. 3．（10年江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（0,0），B（-3,0），C（-2,1）,设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值． [解析] 本题主要考查矩阵的乘法运算及变换．满分10分． 解：， 由，知A1（0,0），B1（0，-3），C1（k，-2）． ∵， ∴， ∴． 4．（11年江苏）已知矩阵，向量求向量，使得．，由得：， ，，． 四．试题分类汇总 1．矩阵变换 题1：（2010南京一模）在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵：，． 题2：（2009年南京一模）已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线 在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程． 题3：（2011年苏、锡、常、镇二模）求圆在矩阵对应变换作用下的曲线方程． 题4：（2011年南京二模）求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线的方程． 题5：（2011年南通二模）已知圆C在矩阵对应的变换作用下为椭圆，求的值 题6：（2010年南京二模）如果曲线在矩阵的作用下变换得到曲线，求的值． 题7：（2011年苏、锡、常、镇一模）已知直角坐标平面上的一个变换是先绕原点逆时针旋转，再作关于轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵． 2．矩阵的运算、逆矩阵 题8：（2009南通二模）已知, 求矩阵B. 成立的矩阵． 题10：（2009南京二模）已知二阶矩阵M满足，求． 题11：（2010南通一模）若点在矩阵对应变换的作用下得到的点为，求矩阵的逆矩阵．及其对应的一个特征向量，特征值及其对应的一个特征向量，求矩阵A的逆矩阵． 3．特征值和特征向量 题13：（2010年南通二模）求矩阵的特征值及对应的特征向量. 题14：（2009年苏、锡、常、镇二模）已知矩阵，其中，若点 在矩阵的变换下得到点， （1）求实数a的值； （2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量. 题15：（2011年盐城一模）已知矩阵=的一个特征值为3，求其另一个特征值． 题16：（2011年南京一模）已知为矩阵属于的一个特征向量，求实数，的值及． 题17：（2010年苏、锡、常、镇二模）一个的矩阵有两个特征值：，其中对应的一个特征向量，对应的一个特征向量，求． 参考答案： 题1：解：，由，知，，，． 题2：解：由题设得,设是直线上任意一点,点在矩阵对应的变换作用下变为,则有, 即 ,所以．因为点在直线上,从而,即：，所以曲线的方程为 ． 题3：解：设是圆上的任意一点，设是在矩阵对应变换作用下的新曲线上的对应点， 则， …………………………………3分 则，所以， …………………………………6分 将代入，得． ……