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2003年全国高中数学联赛试题 第一试 2003年10月12日 一、选择题 本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.　这个数列的第2003项是 【答】（　 ）2. 设那么直线和曲线的图形是【答】（　 ）的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（　 ） (B) (C) (D) 4. 若则的最大值是 （A） (B) (C) (D) 【答】（　 ）在区间内，且则函数的最小值是 （A） (B) (C) (D) 【答】（　 ），直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于 【答】（　 ） (B) (C) (D) 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7．不等式的解集是______________ 8．设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_____________. 9. 已知 若，则实数的取值范围是_____________. 10. 已知均为正整数，且若，则____________. 11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．设 是中元素的个数，是中所有元素的和，则________. 三、解答题 （本题满分60分，每小题20分） 13． 设 证明不等式 14．设A,B,C分别是复数（其中都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点刚好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合. 2003年全国高中数学联赛加试试题 第二试 一、（本题满分50分） 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使 求证： 二、（本题满分50分） 设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数. 求这种三角形周长的最小值. 三、（本题满分50分） 由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间四边形，其中已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形） 2003年全国高中数学联赛第一试参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C B A C D B 提示： 注意到,,故; 题设方程可化为和,观察图形可知； 易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=； 原函数可化为,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当时，y取最大值; 消去y之后可得：,用基本不等式可求得函数u的最小值; 可用等积法求得，过程略。 二、填空题 7. . 提示： 原不等式可以化为: 8. 4 是直角三角形，故的面积为; 9. 提示：,令,,则只需在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是,由此推出; 10．93 提示： 由已知得,,又 ，故,推得,; 11． 提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2, , ,求得 ,故所求的高为