2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛 无答案.docVIP

2015年全国高中数学联赛省预赛 填空题:本大题共小题,每小题分,共分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.,若集合,则集合中元素的个数是 2.已知函数,则 3.已知,则 4.在三棱锥中,,则直线与所成的角的大小为 5.如图,以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的一个焦点,且与轴交于两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率是 6.设为的外心,且满足,则 7.在中,,则的最小值是 8.某人抛掷一枚硬币,出现正面向上和反面向上的概率都是,构造数列,使,记,则且的概率是 (用最间分数作答) 9.若正整数满足,则的值为 10.设单调递增数列的各项均为正整数,且,则 二 试 本大题共6小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11(本小题满分15分) 设等比数列的前项和为,且. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)在与之间插入个实数,,使这个数依次组成公差为组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证: 12(本小题满分15分) 设的三内角所对的边分别为,且满足 (Ⅰ)求证:为直角三角形; (Ⅱ)若,求面积的最大值. 13(本小题满分15分) 如图,设为锐角的垂心,过点且垂直于的直线交于点,过点且垂直于的直线交于点,,过点且垂直于的直线交直线于点,求证: 14(本小题满分15分) 如图,,在直角坐标系中,圆与轴的正半轴交于点,以为圆心的圆 与圆交于两点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)设是圆上异于的任意一点,直线与轴分别交于点,求的最大值(其中分别表示的面积) 15(本小题满分20分) 已知函数. (Ⅰ)若对任意不等式恒成立,求实数的取值范围; (Ⅱ)证明:对任意,有. 16(本小题满分20分) 设表示不超过实数的最大整数,已知 求和: