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2015年全国高中数学联赛 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置. 1.设为不相等的实数,若二次函数满足,则的值是 2.若实数满足,则的值为 3.已知复数数列满足,其中为虚数单位, 表示的共轭复数,则的值是 4.在矩形中,,边上(包括点的动点与延长线上(包括点的动点满足,则向量与向量的数量积的最小值为 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系中,点集所对应的平面区域的面积为 7.设为正实数,若存在,使得,则实数的取值范围是 8.对四位数,若,则称为类数,若 ,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则 的值为 本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分16分) 若实数满足,求的最小值. 10(本小题满分20分) 设是四个有理数,使得,求的值. 11(本小题满分20分) 在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左,右焦点,设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点,焦点到直线的距离为.如果直线的斜率成等差数列,求的取值范围. 加 试 本卷共4题,共180分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 12(本小题满分40分) 设是实数,证明:可以连取使得 13(本小题满分40分) 设,其中是个互不相同的有限集合,满足对任意 ,均有,若,证明:存在,使得属于中的至少个集合(这里的元素个数) 14(本小题满分5分) 内接于圆为上一点,点在线段上,使得平分,过三点的圆与边交于点,连结交圆于点,连结并延长与边交于点,证明: 15(本小题满分5分) :对任意正整数不整除.
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