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第7章 常微分方程初值问题数值解法 本章探讨常微分方程特解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍求常微分方程初值问题的常用方法和有关知识。 重点论述Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法的原理、构造、局部截断误差和稳定性等内容。 7.1 实际案例 工程技术里某些振动问题可以表示为单摆的运动，其运动规律的微分方程为： 怎样求出其特解？ 该微分方程不能用通常的解析方法来求解！ 怎样解不能用解析方法求解的微分方程特解问题是本章要解决的问题。 7.2 问题的描述和基本概念 1、常微分方程初值问题 一般形式 （7.1） 式中已知，称为初值条件。 初值问题的数值方法和数值解 求函数在若干离散点上的近似值的方法称为初值问题的数值方法，而称为初值问题的数值解。 2. 建立数值解法的思想与方法 微分方程初值问题的数值解法是用离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解的方式。 设区间[a,b]上的一组节点为 距离称为步长。 求数值解一般是从开使逐次顺序求出。 初值问题的解法有单步法和多步法两种。 单步法：计算时只用到一个值； 多步法：计算时要用多个值。 数值解法的显格式和隐格式。 微分方程基本的离散化方法 数值微分法，数值积分法和Taylor展开法。 常微分方程初值问题化为差分方程 用离散方法去掉方程中的导数得到近似离散化方程； 在近似离散化方程中用代替； 在近似离散化方程中将近似号“”用等号“=”代替。 1) 数值微分法 由初值问题（7.1）有，用数值微分的2点前差公式代替，得近似离散化方程 记，做，“”，得差分方程 写容易计算的形式 （7.2） （Euler公式） 由初值条件及式（7.2）可求出（7.1）的数值解。公式（7.2）是显式单步法。 2）数值积分法 在上对两边取定积分，得 对右端积分采用梯形公式（数值积分公式）得近似离散化方程： 于是得到求初值问题（7.1）的梯形方法 该公式是隐式单步法。 3）Taylor展开法 因为初值问题中函数是已知函数，由，可以计算，，…， 于是有函数在处的Taylor展式 取上式右端前若干项，得近似离散化方程。 例如取前两项有 于是又得到Euler公式： 数值解法的误差、阶与绝对稳定性 单步法数学描述为 显式： （7.4） 隐式： （7.5） 其中为与有关的函数，称为增量函数。 显式单步法的一些概念 定义7.1 设是问题（7.1）的解，是经过式（7.4）求出的的计算解，则称 为显式单步法（7.4）在节点的整体截断误差，而称 （7.6） 为在点的局部截断误差。 表示解在的值，是准确值，没有误差； 表示由求数值解公式得出的近似值，是数值解，有截断误差； 表示用计算机计算给出的计算解，有舍入误差。 局部截断误差的理解 假设在计算时没有误差（）下，由式（7.4）计算出的（）与的误差。 整体截断误差还要加上与的误差。 考察初值问题解法的优劣，引入阶的概念。 定义7.2 如果初值问题（7.1）对某种数值解法的局部截断误差为 则称该方法具有p阶精度或该方法是p阶方法。 方法的阶越高，方法越好。 主局部截断误差或局部截断误差的主项 如果某方法是p阶方法，若其局部截断误差按展开为 则称 为主局部截断误差。 在同阶方法中，主局部截断误差越小，方法越好。 例7.1常微分方程初值问题的单步法为 试求其局部截断误差主项并回答它是几阶精度的？ 解 该单步公式的局部截断误差是 故局部截断误差主项是，方法是一阶的。 求阶p的另一方法 因为 去掉下标，有 若将在x点展开有 则知该方法的阶是p。 例如，对Euler方法，有 那么 将在x点展开，有  故有 因此，Euler方法是一阶方法。 定义7.3 设用某种数值方法求初值问题（7.1）在任意节点的数值解时，满足，则称该数值方法是绝对稳定的。 这里是计算机计算时得出的计算解的舍入误差，。 通常用试验方程 （为复数） 来讨论求解初值问题的数值方法绝对稳定性； 对具