工程电磁场原理第1章1-倪光正.ppt

* * 拉普拉斯场无极值 又 在无界空间内取值 故 为常数 从而 故 * 　1.2 矢量分析 　　1.2.4 标量场的梯度 　　 * 广东工业大学 * 梯度概念的提出 （标量场变化率） 设一个标量函数? (x，y，z)，若函数 ? 在点 P 可微，则 ? 在点 P 沿任意方向 的方向导数为 　1.2 矢量分析 　　1.2.4 标量场的梯度 　　 * 广东工业大学 * 定义 则 如果 则 哈密顿算子或纳布拉算子，读[del] 定义 则 梯度的意义： 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数 ? 的最大变化率，即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 例1.1 电位场的梯度 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。 例1.2 设一标量点函数 (1) 该点函数 ? 在点P(1, 1, 1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量； 描述了空间标量场。试求： [解] (1) 由梯度定义,可解出待求 P 点的梯度为 例1.2 设一标量点函数 描述了空间标量场。试求： (2) 求该点函数 ? 沿单位矢量 方向的方向导数，并以点P(1, 1, 1) 处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。 (2) 显然，梯度 描述了P点处标量点函数? 的最大变化率，即系最大方向导数，故 ，恒成立。 1.2.5 矢量场与散度 Divergence of Vector Field 对于一个矢量场 P 点，?S 、?V→0（物理无限小），穿过该微小表面 通量 ?ψ极限 两种表示方法：div, ▽ 根据通量的大小判断闭合面中源的性质： (有负源) 该处ψ线是连续的 (有正源) (无源) 散度起到了检测通量源的作用； 散度定理 高斯定理 请看P25页图 散度定理 高斯定理 建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场之间的关系。 矢量函数的面积分与标量函数体积分的相互转换。 1.2.6 矢量场与旋度 Curl of Vector Field 对于一个矢量场 P 点，l、?S →0（物理无限小），环流强度最大值 1.2.6 矢量场与旋度 Curl of Vector Field 对于一个矢量场 P 点，l、?S →0（物理无限小），环流强度最大值 两种表示方法：curl, ▽ 无旋 有旋 根据旋度是否为零判断是否有涡旋源： 旋度起到了检测涡旋源的作用； 旋度 是一矢量； 方向：右，并为获得最大环量位置的面元的法线方向； 矢量的旋度值与所选择的坐标系无关。 斯托克斯定理 请看P26页图 斯托克斯定理 建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。 矢量函数的线积分与面积分的相互转换。 1.2.4 矢量分析常用的恒等式 * * 任选有向曲面S 由于曲面S 的任意性 无旋场证明 因此 * * 的意义： 任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度。 任何梯度场一定是无旋场。 * * 任取曲面S 所包围的体积V 由于曲面V 的任意性 无散场证明 * * 的意义： 任一无散场一定可以表示为一个矢量场的旋度。 任旋度场一定是无散场。 * * 1.2.5 亥姆霍兹定理 若矢量场 ①在无界空间中处处单值， ②且其导数连续有界， ③源分布在有限区域中， 则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即 标量函数 矢量函数 * * 其中 是源点( )到场点( )的距离； 积分也对源点坐标展开。 算子 是对源点坐标进行运算的； 标量函数 矢量函数 * * 定理的内涵： 矢量场的特性取决于该矢量场的散度和旋度特性； 给出了场量与场的散度源和旋度源之间的定量关系； 对特定的电磁场，可分类予以定义，分析各自的规律性。 * * 因 故 又 即 故 即 也即 唯一性的证明 设F、G是符合条件的两个场 广东工业大学 第1章 电磁场的数学物理基础 * 广东工业大学 * 1.1 电磁场物理模型的构成 1.2 矢量分析与场论基础 1.3 电磁场的数学模型——麦克斯韦方程组 第1章 电磁场的数学物理基础 * 广东工业大学 * 1.1