数理统计7.pptVIP

几个常用统计量复习 2) 未知σ2时，μ的置信区间 例3 例6 例7 六、单侧置信区间 五. 两正态总体样本方差比 区间估计 分别是这两个样本的 且X与Y独立, 分别是这两个样本的样本修正方差, 均值， 对于给定的 选取统计量为 则 的置信度为1－ α的置信区间为 则 的置信度为1－ α的置信区间为 第三节 区间估计 在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条也可能小于1000 条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. [ ] 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 一.置信区间与置信度 定义 设总体X 含一待估参数 对于样本 找出 使得： 称区间 为 的置信区间 为该区间的置信度 区间估计要求根据样本给出未知参数的范围， 并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。 通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%. 即置信度为 这时重复抽样100次, 则在得到的100个区间中包含 真值 的有95个左右, 例如:若 真值的有5个左右 。 不包含 是一个随机区间； 给出该区间 含真值 的可靠度 。 可能性。 表示该区间不包含真值 的 区间 由于正态随机变量广泛存在， 指标服从正态分布， 特别是很多产品的 我们主要讨论总体分布为正态的区间估计情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计. 二.正态总体均值的区间估计 (1) 已知方差，估计均值 设 为总体 的一个样本 置信度 下，来确定 设已知方差 且 是 的 一个无偏点估计. 的置信区间 且 对于给定的置信度 查正态分布表，找出 临界值 使得： 由此可找出无穷多组 通常我们取对称 使： 区间 由上 分位点的定义 推得，随机区间： 需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的. 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. 我们总是希望置信区间尽可能短. 任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间. 置信区间短表示估计的精度高， 像 N(0,1)分布那样概率密度 的图形是单峰且对称的情况。 当n固定时以 的区间长度为最短， 我们一般选择它。 若以L为区间长度，则 可见L随 n 的增大而减少（α 给定时） 例1 已知某种油漆的干燥时间（单位:小时）服从正态 分布 其中μ未知 现在抽取25个 样品做试验，得数据后计算得 取 求μ的置信区间。 解 选取统计量为 由公式知置信区间为 查表 则所求μ的置信区间为 代入样本值计算 例2 设总体 问需要抽取容量为多 大的样本,才能使 的置信水平为0.95 的置信区间 的长度不大于 0.49 ? 解 设需要抽取容量为 的样本, 其样本均值为 查表得 于是 的置信水平为0.95的置信区间为 该区间长度 要使 只要 即 取 当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差 代替σ2 已知 则对给定的α， 令 查t 分布表，可得 的值。 则μ的置信度为1－α的置信区间为 由中心极限定理知， 当 n 充分大时， 无论X服从什么 分布，都近似有 当n很大时， 容易想到用样本方差?代替σ后对分布影响 不大， 故n很大时，n50 则μ的置信度为1－α的置信区间为 40名旅游者。 解 选取统计量为 由公式知置信区间为 查表 则所求μ的置信区间为 为了调查某地旅游者的平均消费额X， 随机访问 得平均消费额为 元，样本方差 设 求该地旅游者的平均消费额 μ的置信区间。 例4 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）. 解： 设每天职工的总医疗费为X， 近似服从正态分布 大样本，由中心极限定理， E(X)= ,D(X)= 未知，用样本标准差S近似代替. 将 =170, S=30, =1.96, n=30代入得, 的置信水平为0.95的置信区间是 [ 159.27, 180.74] 选取统计量为 由公式知置信区间为 若σ2＝25 μ的置信区间为 即