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第九章 方差分析及回归分析 9.1.1 单因素试验的方差分析 I. 基本概念 1. 试验指标 在试验中，需要考察的指标。 2. 因素 影响试验指标的条件。因素又分成可控因素和不 可控因素两类。例如，反应温度、原料剂量、溶液浓 度、反应时间等都是可控因素；而测量误差、气候条 件等都是不可控因素。 3. 水平 因素所处的状态。 II. 举例 III. 问题讨论 单因素试验的方差分析 设因素A 有s 个水平：A1, A2, …, As，在水平Aj ( j =1, 2, …, s)下，进行 nj ( nj ≥2) 次独立试验，得 到如下标的结果。 假定水平Aj ( j=1, 2, …, s )下的样本 来自具有方差σ2，均值为μj 的正态总体, μj和σ2未 知，且不同水平Aj下的样本相互独立。 方差分析的任务 ● 检验 s 个总体 的均值 是否相等，即检验假设 ● 作出未知参数 的估计。 若记 的加权平均为 引入 表示总体平均值与 总平均的差异，称为水平Aj 的效应。此时， 9.1.2 平方和的分解 上式的第三项为 SE 称为误差平方和，SA称为效应平方和。(1.8)式称 作总变差平方和分解式，简称平方和分解式。 9.1.3 SE与SA的统计特性 9.1.5 未知参数的估计 由(1.13)式，知： 是σ2的无偏估计； 再由(1.1), (1.6)及(1.7)式，知： 故 分别为μ和μj 的无偏估计。 若拒绝H0 ，就意味着，效应δ1,δ2,…,δs不全 为零。由于δj=μj-μ, j=1, 2, …, s, 知： 是δj 的无偏估计。 因为F 3,14(0.05)=3.343.76，故在水平0.05下拒 绝H0，即认为各类型电路的响应时间有显著差异。 9.2.1 双因素等重复试验的方差分析 设两个因素A 和 B 作用于试验指标。A有r 个水平A1, A2, …, Ar，B有s个水平B1, B2, …, Bs。 现对A , B的各水平组合(Ai, Bj )，i=1, 2, …, r ，j=1, 2, …, s 都作t (t≥2)次试验(称等重复试验)， 得如下试验结果： 9.2.2 双因素无重复试验的方差分析 在以上讨论中，我们考虑了双因素试验中两个因素间的交互作用。为检验交互作用的效应是否显著。对两因素的每一组合(Ai, Bj)至少要做2次试验。 这是因为在模型(2.5)中，若k=1，γ ij+εij 总以结合在一起的形式出现，这样就不能将交互作用与误差分离出来。如果在处理实际问题时，我们知道不存在交互作用，或已知交互作用对试验的指标影响很小,就可以不考虑交互作用。此时，即使 k =1，也能对因素A、B的效应进行分析。 现设对两个因素的每一组合(Ai, Bj)只做一次试验，所得结果如下。 客观世界中变量之间的关系包括： ● 确定性关系：变量之间的关系能用函数来表达； ● 非确定性关系：相关关系。 回归分析是研究相关关系的数学工具。可帮助 人们从一个变量的取值去估计另一个变量的值。 9.3.1 一元线性回归 设随机变量Y (因变量)与x (自变量)之间有某种 相关关系，且对每个固定的x, Y 都有确定的分布。 对于 x，取一组不完全相同的值 x1, x2, …, xn， 设Y1, Y2, …, Yn 分别为 x 在 x1, x2, …, xn 处的观测结 果，称 (x1, Y1), (x2, Y2), …, (xn , Yn ) 为一个样本。 相应的取值为样本值，记成： (x1, y1 ), (x2, y2), …, (xn , yn )． 　(3.1) 对于某个区间内固定的 x，设 Y ~ N(a+b x, σ 2), 其中 a, b 和σ2是未知的，但都不依赖于 x 的参数。 记 ε = Y-(a+b x)，则 Y= a+b x +ε, ε ~