第1章插值.pptVIP

计算机如何表达函数？ 例子 2点Newton型插值 2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式 差商表 求值 算法： for(i=1;i=n;i++) { for(j=n;j=i;j--) y[j]=(y[j]-y[j-1])/(x[j]-x[j-i]); } fx=y[n]; for(i=n;i=1;i--) { fx=y[i-1]+(x-x[i-1])fx; } 问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重复计算，要如何改进前面的算法？ 一些性质 性质2 误差 性质3 差商性质总结 证明作为作业 1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的 连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。 称为二重密切Hermite插值 例：设 x0 ? x1 ? x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。 模仿 Lagrange 多项式的思想，设 解：首先，P 的阶数 = 3 ? + = 2 1 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = 0 i i i x h x1 f ’ x h x f x P ? h0(x) 有根 x1, x2，且 h0’(x1) = 0 ? x1 是重根。 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 0 0 x x x x C x h - - = 又: h0(x0) = 1 ? C0 h2(x) 与h0(x) 完全类似。 其中 hi(xj) = ?ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1 ? h1 ? h1 h1(x) 有根 x0, x2 ? ) )( )( ( ) ( 2 0 1 x x x x B Ax x h - - + = 由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。 (x) ? h1 有根 x0, x1, x2 ? ? h1 ) )( )( ( ) ( 2 1 0 1 x x x x x x C x - - - = ? h1 又: ’(x1) = 1 ? C1 可解。 与 Lagrange 分析完全类似 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数， 注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1 对二重密切Hermite插值 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法 误差分析 类似Lagrange插值的分析方法 二重密切Hermite插值误差 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1.已知函数形态，可以存相关系数 2.对任意函数，可以存点 第1章 插 值 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 问题 是否存在唯一 如何构造 误差估计 设 则 所以 有唯一解，当且仅当m=n，且系数行列式不为0 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 与基函数无关 与原函数f(x)无关 基函数个数与点个数相同 特点： 对应于 则 Vandermonde行列式 病态 多项式插值的Lagrange型 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 要求 则 求 ，易知： 记 线性插值 二次插值 例： 算法： fx=0.0 for(i=0;i=n;i++) { tmp=1.0; for(j=0;ji;j++) tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]); for(j=i+1;j=n;j++) tmp=tmp*(x-x[j])/(