《概率论与数理统计》第七章参数估计2.pptxVIP

补充例题定义：例如：无偏估计量但渐进无偏估计量有矩估计量和极大似然估计量例：试讨论这两个估计量的无偏性，有效性和相合性。无偏性需要了解X(n)的密度函数利用顺序统计量的性质可得X(n)的密度函数为：直接计算有：不是无偏估计量，只是渐进无偏估计量但是无偏估计量有效性现在分析的有效性这个例子中的极大似然估计更有效相合性最后看两个估计量的相合性。之前证明过：样本均值是总体期望的相合估计量。故矩法估计量是相合估计量极大似然估计量在一般情况下也有相合性，证明很复杂，我们这里就不给出了参数的区间估计点估计：如果构造一个统计量来作为参数?的估计量，则称为参数?的点估计。点估计总是有误差的，但没有给出偏差的程度，引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（?，1002），现随机抽取5只，用样本均值估计其平均寿命。测三组数据：均值第一组145515021370161014301473.4第二组140013901408151213901420第三组150015101460150514251480用样本均值来估计参数?的值回忆：?是一个真实存在的确定的数，只是我们不知道确切的值取样本1，得到估计值1473.4取样本2，得到估计值1400取样本3，得到估计值1500的观测值在?的真实值左右波动。随机变量但范围有多大呢？区间估计的思想构造两个统计量用来作为参数?可能取值范围的估计，同时给出参数?落在随机区间 中的概率，称为区间估计。上例：要求有90%的把握判断?落在之间求δ的选取解：点估计中，我们用估计?。现在我们要精确了解估计的误差，需要考察统计量作为随机变量的分布。已经知道：方差已知，但是?是一个未知参数，使用起来不方便。如何处理样本均值这一统计量？考虑U统计量：先找正数ε，使得Φ(-ε)=1- Φ(ε)查表得有90%的把握成立注意：对于某个给定的观测值，上述不等式不是一定成立，但是有100组数据的话，其中应当有90个估计是成立的，即成立的可能为90%。置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数?，对给定的?（很小），如果由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量 ?1（ X1，X2，…，Xn ）， ?2（ X1，X2，…，Xn ），使得P{?1 ? ?2}=1- ?，则称随机区间（ ?1 ， ?2 ）为参数?的置信度（或置信水平）为1- ?的置信区间。?1——置信下限 ?2——置信上限为置信度为0.9（或直接写为上例：1-0.1）的置信区间注意： 1- ?只是一种记法，但是这种记法会简化计算区间估计的一般定义定义1、估计?和估计g(?) 并没有本质区别。2、参数?的置信水平为1-?的置信区间（ ?1， ?2） 表示该区间有100（1-?）%的可能性包含总体参 数?的真值。3、不同的置信水平，参数?的置信区间不同。 4、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- ?大）。不降低可靠性的同时要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。几点说明分位数 设 X ~ f (n)（f 为某种分布，n 为有关的自由度），0α1，则称满足的数 fα(n) 为分布 f (n) 的 α 分位数（或分位点） 查课本后面的表可得 ? 2分布， t 分布， F 分布的分位数。注意对于 t(n) 分布，当 n 趋于无穷时，分布趋于 N(0,1)，故当自由度较大时，用标准正态分布的分位数 uα 代替 t(n) 的分位数。若X ~ ? 2(n) 分布，当n趋于无穷时， 近似的服从 N(0,1)，故当自由度较大时，近似的有对于 F(m,n) 分布和 α(0α1),有单个正态总体参数的区间估计如果总体X~N（?，?2），其中?2已知， ?未知，则取U-统计量 ，对?做区间估计。对给定的置信水平1-?，由将观测值 代入，则可得具体的区间。正态总体方差已知，对均值的区间估计确定临界值（X的双侧?分位数）得?的置信区间为例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径E[X]的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径E[X]的置信 区间：?=0.05；?=0.01。解 （1）由矩法估计得E[X]的点估计值为续解 （2）由题设知X~N（?，0.06） 构造U-统计量，得E[X]的置信区间为而 当?=0.05时，所以，E[X]的置信