直线与平面垂直的性质课件.pptVIP

3.设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题中正确的个数是( ) ①若l⊥α,则l与α相交; ②若m α,n α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α; ③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α; ④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n. A.1 B.2 C.3 D.423 解析:①?③?④正确,②不正确.因此选C. 答案:C * * 2.3.3 直线与平面垂直的性质 1.了解垂线段?斜线段及直线和平面所成的角的概念,会进行直线和平面所成的角的计算. 2.经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理. 3.会运用判定定理和性质定理解题. 1.过一点和已知平面垂直的直线______________________. 2.过一点和一条直线垂直的平面______________________. 3.垂直于同一平面的两条直线________. 4.垂直于同一直线的两个平面相互平行. 有且只有一条 有且只有一个 相互平行 1.直线垂直平面的性质(数学符号表示) 2.证明两条直线平行的方法(数学符号表示). (3) 题型一 线线平行问题 例1:已知:a⊥α,b⊥α. 求证:a∥b. 分析:已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题,需将两条直线转化到同一平面上,直接证明比较困难,可考虑先作出符合要求的图形. 证明:如右图, 设b∩α=O,过O作b′∥a. ∵a∥b′,a⊥α. ∴b′⊥α. 又b⊥α,这样过点O有两条直线b?b′与α垂直,则必有b?b′重合. 因此b∥a. 规律技巧:本例若采用直接法证明两直线平行较为困难,故先作出符合要求的图形,然后证明所作图形与已知图形重合,这种证明方法称为同一法.这是直线与平面垂直的性质定理. 变式训练1:已知直线l?m,平面α?β,l⊥α,m⊥β,α∥β,则直线l与m的位置关系式是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 解析:l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又m⊥β,∴l∥m. 答案:C 题型二 线线垂直问题 例2:如下图,在四面体ABCD中,若AB⊥CD,AD⊥BC,求证:AC⊥BD. 分析:要证线线垂直,可先证线面垂直,进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直. 证明:过A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则AO⊥CD. ∵AB⊥CD,AO∩AB=A, ∴CD⊥平面ABO. ∵BO 平面ABO, ∴CD⊥BO.同理BC⊥DO. 则O为△BCD的垂心,∴CO⊥BD. ∵AO⊥BD,CO∩AO=O, ∴BD⊥平面ACO. 又∵AC 平面ACO, ∴AC⊥BD. 规律技巧:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用. 变式训练2:如右图,P为△ABC所在平面外的一点,且PA?PB?PC两两垂直, 求证:PA⊥BC. 证明:∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, ∴PA⊥平面PBC. ∵BC 平面PBC,∴PA⊥BC. 题型三 线面垂直的综合应用 例3:如下图,∠BOC在平面α内,OA是α的斜线,若∠AOB=∠AOC=60°, ,求OA和平面α所成的角. △ABC为直角三角形. 同理△BOC也为直角三角形. 过点A作AH垂直平面α于H,连结OH, AO=AB=AC OH=BH=CH 规律技巧:在立体几何中存在许多平面图形,在证题时充分运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径. 变式训练3:AB和平面M所成的角是α,AC在平面M内,AC与AB在平面M内的射影AB1所成的角是β,设∠BAC=θ,求证α?β?θ满足关系式cosθ=cosα·cosβ. 证明:如右图,在AB和AC确定的平面内作BD⊥AC,D为垂足,连结B1D. ∵BB1⊥平面M,AC 平面M, ∴BB1⊥AC. ∵BB1∩BD=B ∴AC⊥平面BB1D,AC⊥B1D. 在Rt△ADB中,cosθ=AD:AB. 在Rt△ABB1中,cosα=AB1:AB. 在Rt△ADB1中,cosβ=AD:AB1. ∴cosα·cosβ 即cosθ=cosα·cosβ. 易错探究 例4:如图,已知六棱锥P——ABCDEF的底是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( ) A.PB⊥AD B.平面PAB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 错解:∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA, 又BC⊥AB,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB, 又BC在平面PBC内,∴平面PAB⊥平面PBC. 故选B. 错因分析:正六边形的性质应用失误,导致空间线面位置关系判断错误. 正解:∵