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第16章 狭义相对论基础 16.1 静止长为的火车，相对车站以匀速直线运动，已知车站站台长，站上观察者看到车尾通过站台进口时，车头正好通过站台出口。车的速率是多少？车上乘客看车站站台是多长？ 解：由动尺缩短公式，得 ， 。 16.2 人们观测了以高速飞行的粒子经过的直线路径，实验结果得出的平均飞行距离是，求出该粒子固有寿命的相对论预言值，并与实验室测出的固有寿命值比较．光速。 解：粒子的飞行时间为 。 由动钟延缓公式，有 ， 与实验值非常接近。 16.3 地面参考系中，在处，于时刻爆炸了一颗炸弹．如果有一艘沿轴正方向、以速率运动的飞船，试求在飞船参考系中的观察者测得这颗炸弹爆炸的空间和时间坐标．又若按伽利略变换，结果又如何？假设两参考系的时空原点已经校好． 解：取飞船为运动系，则由洛伦兹变换，有 ， 。 如果按伽利略变换，则 ， 。 16.4 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为，以及，．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：（1）S′系相对S系的速度是多少？(2)S′系中测得的两事件的空间间隔是多少？ 解：（1） 根据洛伦兹变换，由题意，有 ， 故 。 （2） 。 另外，根据间隔不变性和，亦可得 。 16.5 静止长度为的火箭以匀速相对地面运动．一个光信号从火箭前端发出，到达尾部。求火箭上的观测者和地面的观测者观察该过程所需的时间． 解：以火箭运动方向为两参考系x轴的正方向。这里的两个事件是光信号的发射和接收两事件在运动系（火箭）中，，光速为c，方向沿反向，故 。 在静止的地面系中，由洛伦兹变换的逆变换，有 。 说明：若计算则 。 于是，在地面系中，光发射和接收这两事件的空间和事件间隔之比为，即光速是不变的。 16.6 短跑运动员在地面上以的时间跑完的距离．一飞船沿同一方向以的速率飞行，求飞船上的观测者测得的各量：（1）跑道的长度；（2）运动员跑过的空间间隔和时间间隔；（3）运动员的速度；（4）运动员相对于跑道的速度． 解：（1）由洛仑兹收缩公式，有 。 （2）该问题中的两事件是运动员起跑和到达终点。取运动方向为正方向，则该两事件在地面静止系中的时间和空间间隔分别为。根据洛伦兹变换，该两事件在飞船运动系中的间隔分别为 （由于计算结果是一个大量加一个小量，而这个小量可能会决定另外一些结果，故在上述结果中保留了小量。） （3）飞船观测到的运动员的速度为 。 注意，故 （也可以直接从的数据出发利用小量展开来做。） （4）上式中的即为飞船观测到的运动员相对于地面的速度。 右图有利于理解本题，其中A、B分别为跑道的起点和终点。在飞船上看，地面（连同运动员）以高速向后退。同时，可以检验相对速度与的乘积恰为跑道收缩后的长度。 16.7 在Σ系中观察两个事件同时发生在轴上，其间距为．在Σ’系中观察这两个事件之间的空间距离是，求在Σ’系中观察这两个事件的时间间隔． 解：根据时空间隔不变性，有 。 代入数据，得。 16.8 在某惯性系Σ中，两事件发生在同一地点而时间相隔为．已知在另一惯性系Σ’中，该两事件的时间间隔为．求：（1）两惯性系的相对速度是多少？（2）在Σ’系中，两事件的空间间隔是多少？ 解：（1）根据洛伦兹变换，有 ， 故 。 （2）根据洛伦兹变换，有 ， 代入数据得。（也可以利用间隔不变性得到。） 16.9 在以速度飞行的飞船中，宇航员通过电磁波收看来自地球的电视节目．如果该节目在地球上的播出时长为，求：飞船处于下列情况下，宇航员用时多少可以看完节目．（1）飞船飞离地球．（2）飞船飞向地球． 解一：该题中包含四个事件：A、开始信号从地球发出；B、开始信号达到飞船；C、结尾信号从地球发出；D、结尾信号达到飞船。在地面系的情况如图所示。已知，求。由图，得 。 故 。 由于事件B、D在飞船系中是同地发生的，故是原时间隔。利用公式，得 。 题中两种情况分别对应和。代入数据，分别得或。 解二：四个事件在飞船系的情况如图所示，有 ， 即 。 同时，由于事件A、C在地面系中是同地发生的，故是原时间隔。于是 。 故 。 该结果与前一解法的结果相同。 16.10 一物体的速度使其质量增加了10％．试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少？ 解：根据质量公式知， 。 于是，根据动尺缩短公式，有 ， 即物体缩短了9％。 16.11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍．试求该粒子的速率和动量． 解：，即，所以 。 故 ， 。 16.12 把一个静止质量为的粒子由静止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？ 解：根据能量公式，有 。 。 16.13 (子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命(0＝2(10-