微分在近似计算中的应用第五节函数的微分三、基本初等函数的微分.ppt

扬州环境资源职业技术学院基础部 * * 一、微分的定义 二、微分的几何意义 四、微分在近似计算中的应用 第五节 函数的微分 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 一、微分的定义 问题的提出 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？ 一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差 是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 是可微的， 而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增 量 的微分，记作dy，即 由定义知: 定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是 (1) 必要性 证明 (2) 充分性 例1 解 例2 解 M N T ） P 几何意义:(如图) 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 函数的微分的表达式 求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下: 设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为 上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性. 例3 解 例4 解 例5 解 应用积的微分法则,得 例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立. 解: (1)我们知道 可见 即 一般地,有 (C为任意常数) (2) 即 (C为任意常数) 四、微分在近似计算中的应用 1 函数的近似计算 这个式子也可以写为 或 (4) (5) (6) 例7 有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm.估计一下每只球需用铜多少(铜的密度是 )? 解 先求出镀层的体积,再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量. 由(4)得 于是镀每只球需用的铜约为 例8 解 * * * *