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3. 磁流体稳定性 3.1 能量原理 无论是磁流体不稳定性还是以后我们要研究的微观不稳定性，都是对特定的平衡而言：即某一模式的任意小扰动对一个特定的平衡来说，是增长的还是衰减的。如果是增长的，就说：这一平衡对于该扰动是不稳定的；反之则说：这一平衡对于该扰动是稳定的。 基本方法 对一组变量 来说，如果是对其平衡的扰动（微扰）模式，且可以写成的形式；那么在时，我们说这平衡是不稳定的，其不稳定性的增长率是. 对这组变量做展开，我们可以把非线性项写成形式 。 (III-1) 这里主导解即为平衡解；而由一阶方程可以求解扰动量。 这种方法类似于研究等离子体波时用Fourier 变换来得到色散关系。但是，如果等离子体有很明显的非均匀性质且磁场位形是复杂的，简正模方法常常是不适用的。 （2）能量原理方法 这种方法可以普遍使用于磁流体（MHD）稳定性研究，特别是理想（ideal）磁流体静态平衡的稳定性研究。 在等离子体中，总能量 是守恒的，有：，。 因此，如果 a） ，则等离子体是不稳定的，因为势能的减少提供了足够的自由能来驱动等离子体的运动（）； b） 。则等离子体是稳定的，因为势能的增加需要吸收自由能从而阻尼等离子体的运动（）。 （3）数值方法 我们可以直接数值地求解线性的甚至非线性的磁流体方程来计算物理量的增长（或者衰减）。 能量原理 由磁流体（MHD）方程： 连续性方程： 动量方程： Ohm定律（理想）： 状态方程： 及，对静态平衡（，），连续性方程、Ohm定律、状态方程自动满足。余下的方程只有 。 (III-2) 我们可以得到满足的有相当选择范围的平衡解，；且的选择原则上甚至可以是任意的。 而关于扰动的一阶方程（线性方程），在确定了平衡解之后，形式是： ， (III-3) ， (III-4) ， (III-5) 。 (III-6) 但是对于稳态平衡（，），其平衡解必须通过求解磁流体方程组的全部方程才能得到。且扰动的一阶方程组与（III-3-6）也有显著的不同： ， (III-3’) ， (III-4’) ， (III-5’) 。 (III-6’) 显然，平衡流的分布对等离子体平衡有非常显著的影响。 注意：从这里开始，本教材讨论的等离子体平衡，除了专门指明的，都是静态平衡。实际上，无论实验室等离子体还是空间等离子体中，都存在着平衡时的等离子体流动。这种剪切流效应在实际问题中是非常重要的。我们将在等离子体物理专题课程里专门研究。 （2）能量原理 一般来说，对静态平衡，如果在任意平衡位置存在一个很小的等离子体位移，则有： ， (III-7) (III-5) ， (III-8) (III-6) ； (III-9) 再将方程（III-7-9）带入动量方程（III-4），我们得到 ， (III-10) 或 。 (III-11) 这里张量算子由下式定义 。 (III-12) 有能量守恒关系及 。 (III-13) 我们得到 。 (III-14) 显然，与相应的平衡对于扰动是不稳定的必要条件是 。 但是对于稳态平衡（，），扰动的一阶方程组（III-3’-6’）很难简单地写成（III-7-9）的形式。张量算子也无法以（III-12）的形式简单确定。一般来说，这个算子的对称性质被破坏，导致下面的分析不再有效。所以存在剪切流的平衡的稳定性研究是非常复杂的问题，需要对具体问题一个一个计算。而先进托卡马克运行模式都存在很强的剪切流（等离子体转动），而且剪切流是控制等离子体不稳定性、改善等离子体约束的重要因素。因此，剪切流条件下托卡马克等离子体的平衡和稳定性是目前聚变磁流体等离子体研究的重要方面。我们会在《环形约束等离子体专题》里详细探讨。 的最小化 寻找最小的一种。问题也简化成的最小化。 等离子体区的能量扰动可以写成形如 。 (III-15) 显然，平行位移的贡献只出现在右边能量积分里的第三项 。 为了确定最不稳定的扰动位移，我们需要将这一项最小化：至少可以得到最不稳定的。对做变分，对于任意，有。容易得到，对于一个的极小值，必有： 。 (III-16) 这里存在两种可能的情况： 不可压缩扰动解： 如果，我们很容易得到。这明显对应不可压缩条件（对应有，但 取有限值，所以）。对于，有形式解： 。 (III-17)