函数的极值及其求法.pptVIP

* 6.5 函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论. 一、函数极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 二、函数极值的求法 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 注 ①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 可疑极值点：驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 列表讨论如下： 定理3(第二充分条件) 证 例2 解 图形如下 注意: 例3 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例4 证 （不易判明符号） 而且是一个最大值点， 例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 证 分两种情况讨论 ① 所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值 ②设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且 又f ( x )在 x = a 处连续，且 f 2( a )是 f 2( x )的极大值 同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况 例6 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且 证明当n为偶数时， f(x0)是f(x)的极值 当n为奇数时， f(x0)不是f(x)的极值 证 由Taylor公式，得 因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内 下面来考察两种情形 ①n为奇数，当x 渐增地经过x0时 变号 不变号 变号 不是极值 ②n为偶数，当x 渐增地经过x0时 不变号 不变号 不变号 是极值 且当 时 是极小值 当 时 是极大值 例4 解 例5 解 函数最大值和最小值的一般求法： (一) y=f(x) x∈[a,b] (1)求出f(x)的导数f(x)； 令f(x)=0，求出驻点； (2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值； (3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最小值. 三.函数的最值 例题与练习 解： (1).f(x)的定义域为(-∞，1 ] ，[-8，1] (-∞，+1] (2). (3).令f‘(x)=0，解之得驻点为 (5).比较大小得，在[-8，1]上的最大值为 ，最小值为-5. (4). 练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间[-3，10]上的最大值 和最小值 *