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函数的最值 观察图像 一、最小值、最大值概念的形成 极大值与极小值 函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值是两个既不相同但又有联系的概念。 极值是指在定义域的某个局部范围内的最大或最小值，而最值是整个定义域范围内的最大或最小值。 二、二次函数最值的求法 知识回顾：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0) 的图像以及顶点 顶点横坐标（对称轴）不在给定区间内： 最值在两端点处取得 例2：已知函数y=-x2+ax+1, x∈[-1,1]，求函数的最大值。 例3:已知函数y=x2－2x+2，x∈[t,t+1]， 求函数的最小值. 例4：某居民小区为扩大绿化面积，决定用长方形的植草砖来铺设停车场的地面。已知植草砖中间用来植草部分的形状为平行四边形（如图），为美观起见，要使图中AE=AF=CG=CH，请你设计 一个方案，使绿化面积最大。 小结 求与二次函数相关的函数最值的步骤： 1）确定函数的定义域 2）研究相关的二次函数的图像 3）结合对称轴位置与单调性求出函数的最值 利用数形结合的思想解决问题 三、与二次函数有关函数的最值求法 1、在 的条件下，求函数 的最小值和最大值。 2、求下列函数的最大值与最小值： 四、最值的应用 1、设 ，其中a0，若f(x)在x∈[0,1]的最小值为g(a)，求g(a)及最大值。 5、已知t为实数，设x的二次函数y=x2-2tx+t-1的最小值为f(t)，求f(t)在t∈[0,2]上的最大值和最小值。 * * 点此播放讲课视频 x1 x5 x4 1 x2 x3 x2 x1 -1 点此播放动画视频 定义：设函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) ≥f(x0)对于定义域内任意x都成立，那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最小值，记作ymin=f(x0) 定义：设函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0)，如果不等式f(x) ≤f(x0)对于定义域内任意x都成立，那么f(x0)叫做函数y=f(x)的最大值，记作ymax=f(x0) 注：使函数取得最大值（最小值）的自变量x的值不一定只有一个，有时可能有二个或二个以上的值。 求二次函数的最大值或最小值最基本的方法是 配方法 若a0, 当x＝ ymin= 例1:讨论函数y=x2－2x+2在下列各区间的 最值。 1）R 2）[-2,3] 3）[-2,-1] 4）[2,3] 顶点横坐标（对称轴）在给定区间内： 最值在顶点处仍可取得，另一在端点处 练习：已知二次函数y=kx2-4kx+2, 在区间[-4,3]上有最大值3，求常数k的值。 轴变 区间定 对二次项系数正负分类讨论 轴定 区间变 点此播放讲课视频 A B C D E G H F X X X y X 注：若抛物线的对称轴与定义域的关系不明确，要分类讨论。 点此播放讲课视频 点此播放讲课视频 2、设m∈R，方程x2-2mx+4m2-6=0的两根为α，β，求(α-1)2+(β-1)2的最值。 3、若二次函数f(x)=ax2+bx+c，当x=3/2时有最小值-3/4，又f(x)=0的两根α,β满足α3+β3=9，求f(x)的解析式。 6、若实数x，y满足3x2+2y2=6x，求x2+y2的最大值和最小值。 7、函数f(x)=x2-4ax+a+1/4在x∈(0,1)上恒为正值，求a的取值范围。 4、设α,β是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当m为何值， α2+β2有最小值，并求出这个最小值。 *