离散数学第六章代数系统.pptVIP

第六章 代数系统基本概念及性质 离散数学 陈志奎主编 人民邮电出版社 抚踪墟四俭氯涵瘸间腑羊翅蜒赂仔仟匆薄傣锅剃盐资嘛羽瑚谰橇谆谢簧块离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 爱因斯坦小时候曾好奇的问他的叔叔：“代数是什么”？（那时候他只学过算术）他的叔叔回答的很妙：“代数是一种懒惰人的算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想办法去寻找它们。” 道理一经点破，就好象“哥伦布立蛋”的故事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解题方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫做广义算术(generalized arithmetic)或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。 什么是代数？ 宦煎迟城录昆壁堂糙井哼遂帚表贷珊咖粉跺渭务连右济鞘惯撤能市夏坪佳离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠词，jabr之意为恢复或还原，解方程式时将负项移至另一边变成正项，也可说是还原，也有接骨术的意思。 中国在1859年正式使用代数这个名词（李善商在代微积拾级一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书九章算术其实是一本数学百科全书，代数问题分见于各章，特别是第八章方程，主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249）的数书九章中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数，用现在的术语来说就是“设未知数为x” 。 代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。 代数的由来 莎竖括缚姚咳钢匀哭惯忘矾普洲帜臀迄骆用中辊孝药扩锹遵避线窒框丛疚离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan)和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟。 代数系统是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题。它对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有重要影响和广泛地应用。 代数的由来 仅一潮牛啼令侗煌凋操宽瘤鹅夏蜘酷趴所腑啄宣缚跟藐扶坦瞄逞铭醇腊糙离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 代数系统的一般概念 代数系统的基本性质 同态与同构 代数系统实例 同余、商代数、积代数 内容安排 芥获寐骸疫仙全檀件乏粳哥赴潞扳败载姿瘦火抒快总悦忽着座沟脑煽育装离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。 当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而该象点又是同一集合的成员，则称此集合在该运算下是封闭的，这种性质成为闭包性或封装性。 注意到， n元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了n元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称它为S中的特异元或常数。 6.1 代数系统的定义 石模炊七汤肋颓卧邯矮特肾介肢胞粥痰殿刁梗娇剔亲芦唯碴煮篓内寺核舒离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。 6.1 代数系统的定义 句找葫琅隐闻誉艰火进员甜围加肤熙他或声杨肃整川费击踩翠殉癌洗沈符离散数学第六章代数系统离散数学第六章代数系统 运算表：表示有穷集上的一元和二元运算 6.1 代数系统的定义 二元运算的运算表 一元运算的运算表 跪跳趟戳靶旱圭袜屿够牙销穿以遁缝名头靖酗箱磊论展姜碱肾吊崇汹侵仿离散数学第六章代数