二元关系和函数.pptVIP

第四章 二元关系和函数 基本要求：了解关系与集合之间的联系, 序偶与笛卡尔积, 二元关系的定义, 掌握关系图和关系矩阵, 关系的性质, 等价关系、相容关系及序关系的概念及其相互间的区别, 掌握集合的覆盖与划分及等价类的概念, 掌握关系的合成运算、逆运算和闭包运算。掌握函数的定义, 函数与关系之间的关系, 函数的性质, 复合函数与逆函数, 几个重要的函数。 重点：序偶与笛卡尔积, 关系的性质, 等价关系和等价类与集合划分的概念及其求证, 关系的合成、闭包运算, 相容关系和序关系。掌握函数的基本性质, 复合函数与反函数运算。 难点：正确地掌握关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性, 等价关系及其证明方法, 传递闭包的正确运算及证明。相容关系与序关系的相互区分。双射函数, 复合函数与反函数。 第四章 二元关系和函数 4.1 集合的笛卡尔积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 一、有序对 定义4.1 由两个元素 x 和 y (允许 x=y )按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶), 记作x, y , 其中 x 是它的第一元素, y 是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中点的坐标 3, ?4 定义4.2 一个有序 n 元组(n≥3)是一个有序对, 其中第一个元素是一个有序 n-1元组, 一个有序 n元组记作：x1, x2, …, xn, 即 x1, x2, …, xn＝ x1, x2, …, xn-1, xn 例：空间直角坐标系中点的坐标 1, -1, 3, 2, 4.5, 0等, 都是有序3元组。 n 维空间中点的坐标或 n 维向量都是有序n元组。 二、笛卡尔积 定义4.3 设A, B为集合, 用A中元素为第一元素, B中元素为第二元素, 构成有序对, 所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积, 记作A×B。符号化表示为 A×B＝{x, y| x?A ∧ y ?B} 例：A＝{a, b}, B＝{0, 1, 2}, 则 A×B＝{a,0, a,1, a,2, b,0, b,1, b,2} B×A＝{0,a, 0,b, 1,a, 1,b, 2,a, 2,b} 笛卡儿积运算的性质 1. 若A, B中有一个空集, 则它们的笛卡儿积是空集, 即 ??B＝A×?＝? 2. 当A≠B且A, B都不是空集时, 有 A×B≠B×A 所以, 笛卡儿积运算不适合交换律。 3. 当A, B, C都不是空集时, 有 (A×B)×C≠A×(B×C) 所以, 笛卡儿积运算不适合结合律。 性质的证明 例题 笛卡儿积运算的性质 4. 笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律, 即 A×(B∪C) ＝ (A×B)∪(A×C)； (B∪C)×A ＝ (B×A)∪(C×A)； A×(B∩C) ＝ (A×B)∩(A×C)； (B∩C)×A ＝ (B×A)∩(C×A)。 三、二元关系的定义 所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性。 例：甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛, 如果任何两个人之间都要赛一场, 那么共要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙, 这个结果可以记作 {乙, 甲, 甲, 丙, 乙, 丙}, 其中x, y表示 x 胜 y 。它表示了集合{甲, 乙, 丙}中元素之间的一种胜负关系。 定义4.5 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对, 则称这个集合是一个二元关系, 一般记作R。 对于二元关系R, 如果x, y?R, 可记作 xRy； 如果x, y?R, 可记作 x y。 四、从A到B的关系与A上的关系 定义4.6 设A, B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系, 特别当A＝B时, 则叫做A上的二元关系。 关系 R?A?B, R 是从A到B的二元关系 关系 R?A?A, R 是A上的二元关系 ?计数 A上有多少个不同的二元关系? |A|=n |A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2 每一个子集代表一个A上的关系, 共 2n2个关系。 关系的表示 表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}, B={y1, y2, …, yn}, R是从A到B的关系, R的关