二元函数的极限与连续性.pptVIP

根据柯西准则, 证得 利用条件 (ii) 与结论 , 又有 这就证得 注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与 定理16. 6 的推论1 相比较, 在这里的条件 (i) 与 (ii) 成立时, 重极限 未必存在. 2、 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分,其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 一、二元函数的连续性概念 ※ 连续性的定义 若 只要 , 就有 则称 f 关于集合 D 在点 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 定义1 设 f 为定义在点集 上的二元函数, 由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 连续等价于 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5 是 f 的可去间断点. 时, 给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数 改为 上，这时由于 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 在坐标原点的连续性． 因此 此时 f 在原点连 因此 f 在原点沿着直线 是连续的． 例1 讨论函数 解 由于当 续; 而当 不存在， 此时 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 量形式来描述连续性, 即当 为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 时, f 在点 连续. 如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和. 若一个偏增量的极限为零, 如 则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在 x0 连续. 同理, 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 固定 时， 在 y0 连续. 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 连续．试证在下列条件之一满足时， 处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 使得对任何 * §10.2 二元函数的极限与连续性 与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的. 一、二元函数的极限 二、累次极限 1、二元函数的极限 一、二元函数的极限 定义1 设二元函数 定义在 上, 为 D 的 一个聚点, A 是一实数. 若 使得当 时, 都有 在对 不致产生误解时, 也可简单地写作 则称 在 D 上当 时以 A 为极限, 记作 当 P, 分别用坐标 表示时, 上式也 常写作 例1 依定义验证 证 因为 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 内来讨论, 于是有 当 时, 就有 这就证得 所以 例2 设 证明　 证　(证法一) 可知 故　 注意 不要把上面的估计式错写成： 因为　 　的过程只要求 即 而并不要求 (证法二) 作极坐标变换 这时 等价于 ( 对任何 ). 由于 因此， 对任何 都有 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相类似). 定理 5 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 　仍是 E 的聚点,就有 推论1 若 , P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 也不存在． 推论2 若 是它们的聚点，使得 都存在，但 , 则 不存在．