红对勾理科数学课时作业53.docVIP

课时作业53　双曲线 时间：45分钟　分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2013·福建卷)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2) 解析：由题知顶点为(±1,0)，渐近线为x±y＝0，则所求距离为d＝eq \f(|±1±0|,\r(1＋?±1?2))＝eq \f(\r(2),2). 答案：B 2．(2013·湖北卷)已知0θeq \f(π,4)，则双曲线C1：eq \f(x2,sin2θ)－eq \f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq \f(y2,cos2θ)－eq \f(x2,sin2θ)＝1的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：对于双曲线C1，有a2＝sin2θ，b2＝cos2θ，∴c2＝a2＋b2＝1，∴c＝1；对于双曲线C2，有a2＝cos2θ，b2＝sin2θ，∴c2＝a2＋b2＝1，∴c＝1，∴C1和C2焦距相等． 答案：D 3．已知双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a0，b0)的离心率为eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±eq \f(\r(2),2)x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x 解析：由题意得eq \f(c,a)＝eq \r(3)，c2＝3a2，则b2＝2a2，∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，则该双曲线的渐近线为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(\r(2),2)x，选A. 答案：A 4．已知点P(2，eq \r(5))是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)的渐近线上的一点，E、F分别是双曲线的左、右焦点，若eq \o(EP,\s\up6(→))·eq \o(FP,\s\up6(→))＝0，则双曲线的方程为(　　) A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 解析：由条件易得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，且(2＋c，eq \r(5))·(2－c，eq \r(5))＝0，联立求得a2＝4，b2＝5，故选C. 答案：C 5．若双曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的一条渐近线的倾斜角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，则m的取值范围是(　　) A．(－3,0) B．(－eq \r(3)，0) C．(0,3) D．(－eq \f(\r(3),3)，0) 解析：双曲线x2＋eq \f(y2,m)＝1的渐近线方程为x±eq \f(y,\r(－m))＝0，即y＝±eq \r(－m)x， ∴0eq \r(－m)eq \r(3)，∴0－m3，即－3m0. 答案：A 6．F1、F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B.eq \r(7) C.eq \r(13) D.eq \r(15) 解析：∵△ABF2为等边三角形， ∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|. 再由双曲线的定义得 |BF1|－|BF2|＝|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝4a，又∵∠F1AF2＝120°，在△AF1F2中由余弦定理得cos120°＝－eq \f(1,2)＝eq \f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a)得c2＝7a2，∴e＝eq \r(7)，∴选B. 答案：B 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．(2013·江苏卷)双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的两条渐近线的方程为________． 解析：由题可知a2＝16，b2＝9，则a＝4，b＝3，故渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(3,4)x. 答案：y＝±eq \f(3,4)x 8．(2013·天津卷)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 解析：由题可知－eq \r(a2＋b2)＝－2且 eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，解得a2＝1，b2＝3，所求方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.