函数模型及其应用.docVIP

函数模型及其应用 典型例题 (1)一次函数模型的应用 例1 某市一家报刊摊点，从报社进一种报纸的价格是每份0.20元，零售价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退给报社.在一个月(以30天计算)中，有20天每天可以售出400份报纸，其余10天每天只能售出250份 ，但每天从报社买进的份数必须相同.若摊主每天从报社买进x(250≤x≤400)份，写出这个摊主这个月所获利润y(元)关于x的函数表达式；这个摊主每天从报社进多少份该报纸，才能使每月所获利润最大？ 分析：由于一个月内有10天售出的份数与另外20天售出的份数不同，因而所获利润要分两段计算，而每天进多少份使利润最大则需结合函数的单调性分析． 解：设每天从报社买进x()份，则每月共可销售份，每份可获利润0.10元；退回报社份，每份亏损0.15元，则依题意，得 ， 函数在上单调递增，时，(元)． 答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 点评：解决实际问题的关键是仔细审题，弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题加以解决． (2)二次函数模型的应用 例2 某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业，分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加﹪(0x 100),而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元，在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？ 分析：保证第二产业的产值不减少是约束条件，使该市第二、三产业的总产值增加最多是追求目标． 解：分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足 ，因为a0，x0，可解得．设该市第二、三产业的总产值增加万万元，则＝，且在上单调递增，当x=50时，． 答：在保证第二产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总 产值增加最多. 点评：二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是一定要注意自变量的取值范围，利用二次函数配方法，通过对称轴与单调性求解是这一类函数的基本方法． (3)指数函数模型的应用 例3 按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数式．如果存入本金元，每期利率为，试计算期后的本利和是多少？ 分析：按复利计算利息的储蓄，本质上是增长率问题．可以一期一期地推求． 解：已知本金为元，期后的本利和为：．期后的本利和为：． 期后的本利和为：．由此推导，得期后的本利和为：．将，，代入上式，由计算器算得元． 答：复利计算下本利和随存期变化的函数式为，期后的本利和是元． 点评：复利计息问题的实质是指数函数模型应用，单利计息问题为定义在整数集上的一次函数模型，解题时要加以区分． (4)幂函数模型的应用 例4 1999年10月12日为“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增加的紧迫任务摆在我们的面前． (1) 世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ (2) 我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用： 数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000 对数lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010 数N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.4771 0.6990 1.0962 1.1176 1.1392 分析：增长率是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型． 解：(1) 设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则．由题意，当n=40时，y=30，即，，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则，,的x=1.7%． (2) 依题意，，得 ，，故人口至多有13.78亿． 答：每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 点评：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(其中为基础数，为增长率，为时间)和幂函数模型(其中为基础数， 为增长率，为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意已知表格中给定的值对应求解． (5)对数函数模型 例5 测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震强度也越高．如日本1923年地震是级，旧金山1906年地震是级，1989年地震是级，试计算一下日本1923年地震强度是级的几倍？是级的几倍？(参考数据) 分析：