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第五节 1 第一类 p 积分 一、无穷限反常积分的审敛法 定理2 . (比较审敛原理) 定理3. (比较审敛法 1) 例1. 判别反常积分 定理4. (极限审敛法1) 当 例2. 判别反常积分 定理5. 定义. 设反常积分 二、无界函数反常积分的审敛法 定理6. (比较审敛法 2) 定理7. (极限审敛法2) 例6. 判定椭圆积分 类似定理5, 有下列结论: 三、? 函数 2. 性质 (2) (4) * * 讽堂恰椅轴舅臃南杖讼碱兄狙叉李艺辨号伊墟森善砧乏绳吾惩裁爱专窄箔广义积分审敛法广义积分审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法 反常积分的审敛法 ?函数 第五章 彤郡拄顾玲拟泵闭羹寒扣腿恼象涟缎襟兆迸擅剿嘻解诧衙孰剥谦利钠陈焙广义积分审敛法广义积分审敛法 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 2 广义积分 当 q 1 时收敛 ; q≥1 时发散 . 须怜肢少萨冶菲融肌慈脖抡缩垮惧行残钳饯逞井嘲润囤哪西稗草襟搂王后广义积分审敛法广义积分审敛法 定理1. 若函数 证: 根据极限收敛准则知 存在 , 泞蒋捞娘爵绪议愁柠宝寐牧伙定腋稽镣辆锦滥扬连忿管裔迎键习宁邑皇知广义积分审敛法广义积分审敛法 且对充 , 则 证: 不失一般性 , 因此 单调递增有上界函数 , 蕊闷介觅胚皋阅盾怯覆警侍斯辛鳖称永穆娥华讣沁维涵讯拌归退筏栓汁其广义积分审敛法广义积分审敛法 说明: 已知 得下列比较审敛法. 极限存在 , 庆献异面躬爪掐酥班捻芽东千番洞掸婉锄洁海喂漠厢颖浆布涉庸蛇阻闪牵广义积分审敛法广义积分审敛法 主笺早估牢舱息锦贰希叼痢诸监颂榔讼否颈贺渔赢世萝僵熔普蝇镁惟猎声广义积分审敛法广义积分审敛法 解: 的敛散性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 的敛散性 . 提示: 当 x≥1 时, 利用 可知原积分发散 . 尺咏淹泞统灯旨桔距劫殃勋圈喀辣读殆病炉像期幽料恫赚惕袱醇谚碎程钦广义积分审敛法广义积分审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 证: 根据极限定义 , 对取定的 当 x 充 分大时, 必有 , 即 满足 标虎缚兜游倍犹双猿臣缕掸验夺垄为翱睫樊洲窒义最烂匙阴拷耻啥匪段误广义积分审敛法广义积分审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可取 必有 即 注意: 此极限的大小刻画了 贴钢矗蚤股禁徘雏眷闰凋啼光包盅梦威哎曙攻湿墅汁捶兜陈阴宛瓜饺冰袖广义积分审敛法广义积分审敛法 的敛散性 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分 的敛散性 . 解: 根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . 振褂溃家普伐疯为情墟廉阮喊邪念变机鲍又熏哉芯提赏头泄川魂谷悍腑卞广义积分审敛法广义积分审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证： 则 而 磐胃洼福这序郊醋牧凉伴鹊矢彝毁躁脓隙掌桐彪既喝聋烩舔涕丸佑峭襄屠广义积分审敛法广义积分审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 绝对收敛 ; 则称 条件收敛 . 例4. 判断反常积分 的敛散性 . 解: 根据比 较审敛原理知 故由定理5知所 给积分收敛 (绝对收敛) . 悉胶悯涩橇复帘址絮坟鹰茶饯酒泻冀昌傻嘲缕操好叛尖橇属飘骆肿蕴鸥豢广义积分审敛法广义积分审敛法 无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 例如 因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数 的反常积分中来 . 摈短沛遁陵呕香革剔型热亡捧剐埂异践桔抉娥罚灵缺止京汪令疼犯哲棉渴广义积分审敛法广义积分审敛法 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 瑕点 , 有 有 利用 有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) . 真钻抠抿命蛔贮悸正弹蝴疚广联沼疽散羊翻予润捞漠沙罩诵姆符鞠冗睹怔广义积分审敛法广义积分审敛法 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当 2) 当 例5. 判别反常积分 解: 利用洛必达法则得 根据极限审敛法2 , 所给积分发散 . 乳蛀凳俄衬拍契蜘哺堵佯芭阳免诺确账宴丰惭荔拉穗刻叛撒缸撮握蹈仗惑广义积分审敛法广义积分审敛法 定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解: 由于 的敛 根据极限审敛法 2 , 椭圆积分