高中数学反正弦函数PCK分析研究.docVIP

高中数学“反正弦函数” PCK分析研究 上海市松江二中 奚志鸿 摘要：调查研究显示反正弦函数是教师和学生公认的难点概念。本文运用PCK理论，对反正弦函数的作用与学习价值、知识本质及知识间的联系、学习经验和困难分析、教学方法和策略分析进行了逐一阐述，并给出了可供参考的一个教学案例。 关键词：PCK；难点概念；反正弦函数 1986年,时任美国教育研究会主席的斯坦福大学教授舒尔曼的研究提出，教师除了应具备学科知识与一般教学法知识外,必须在教学过程中发展另一种新的知识（Pedagogical Content Knowledge）,即PCK,其定义为“教师个人教学经验、教师学科内容知识和教育学的特殊整合”，他还把PCK描述为“教师最有用的知识代表形式”。在此基础上,2005年格林斯曼提出了PCK包含的框架： （1）一门学科的统领性观念, 即关于学科本质的知识和最有学习价值的知识 ，（2）知识间的联系 ,（3）学生在学习某一知识过程中容易误解和混淆的问题，（4）如何将特定的知识呈现给不同学生的策略。舒尔曼认为PCK最能区分学科专家与教学专家、高成效教师与低成效教师间的差别。“PCK 的实质是一种‘转化’的智能，是教师将学科知识‘转化’成学生有效获得的一种学科教学智能，即教师根据课程理念、目标，进行系统思考， 把学科知识有效地‘转化’成教学任务，又由教学任务有效地‘转化’为学生实际的获得。第一次‘转化’主要体现在教师的教学设计中，表现为对课程目标、内容，学生认知基础、风格、个性的把握，教学方法、策略的选择；第二次‘转化’主要体现于课堂教学中，表现为知识的呈现，课堂的决策、监控、补救， 媒体的使用，教学的指导、评价，生成问题的应对，师生关系。” 在高中的概念中有很多概念学生始终不能掌握好，还有的概念连教师都觉得难以传授好，可以称它们为难点概念，所以运用PCK理论分析难点概念是一种有效途径。在《数学教育学报》2012年10月第21卷第5期“高中数学十大难点概念的调查研究”一文中对上海市松江区全体在职85位高中数学教师的问卷调查表明，在教师认为的“高中数学十大难点概念”的排序中，“反正弦函数”列最难教的数学概念中的第八位，巧的是，对松江区抽样的410名学生进行问卷调查中发现“反正弦函数”也列最难教的数学概念中的第八位。虽然这是不完全统计，但是这样的巧合在一定程度上说明“反正弦函数”已成为教师和学生公认的难点概念，而PCK能有效地转化突破知识的难点，。 反正弦函数是反三角函数之一，反三角函数与其它重要知识间的联系也要求对反正弦函数要进行透彻分析。首先，反三角函数是基本初等函数之一,它建立在函数的理论基础上,涉及到集合、映射、函数及其性质等众多理论,故反三角函数的研究应在函数理论的指导下进行。其次反三角函数是三角函数的反函数, 故反三角函数必遵循反函数的理论。为此先要对反函数的概念必须有清晰的认识和理解,基本要素包括定义域、值域,对应法则等互相对应,从而课题的引入、概念的产生应互相对照,互相印证。 反正弦函数本身的重要性也要求我们对其有必要进行透彻分析。首先，反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用，《数学学科教学基本要求》中提及“类比反正弦函数的研究过程能对反余弦函数与反正切函数作研究”。其次，反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用！如最简三角方程通解的表达, 立体几何中角的确定, 直线倾斜角的确定等。特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用，这一节内容的顺利解决对后一节的反余弦和反正切函数奠定了扎实的学习方法。 2 反正弦函数的知识本质及知识间的联系 2.1 反正弦函数定义的剖析 2.1.1 定义的文本解读 上海教育出版社2008版教材在高一年级第二学期第108页中给反正弦函数所下的定义为：函数的叫做函数，记作 习惯上用表示自变量，用表示，所以反正弦函数写成的形式，值域为。 人民教育出版社2000版教材中没有反正弦函数定义，但在高中数学必修2第73页中在第4.11 节“已知三角函数值求角”中有这样一段话：“在闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反正弦，记做，即，其中，且。” 2.1.2 几个相关概念溯源 2.1.2.1 正弦函数 上海2008版教材在高一年级第二学期第81页中的描述对于任意一个实数都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值，这样，对于任意一个实数都有唯一确定的值与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为，叫做正弦函数。描述函数值域，若对于一个值，在中有唯一的