6.3迭代法的收敛定理.pptVIP

第六章 线性方程组迭代解法 §6.3 迭代法的收敛性 基本数学问题描述 一、基本收敛定理 收敛充分条件及其证明 二、Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛条件 基本数学问题描述 一、基本收敛定理 收敛速度的概念 定理6.2的证明 二、Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛条件 引子 对角占优矩阵 实例 相关定理 定理6.3的证明 引子 对角占优矩阵 实例 相关定理 定理6.3的证明 迭代法程序简单，对于许多问题，收敛较快。因而，有时能够解决一些高阶问题。 但应注意，对于某些问题，迭代法可能发散或收敛很慢，以致失去使用价值。这种情况下，仍以采用直接法为宜。 只要断定系数矩阵满足收敛条件，尽管多次迭代计算工作量大一些，却能达到预定精度。 ([保障措施] 高速计算机能胜任那些程序简单、重复量大的迭代计算，况且还有许多加速收敛的办法做保障。) OK! Let’s have a break! * * 谭踊恒炊摩渗职库牢蓑撑姓摊降逝髓剂烬升茨垣貉肠庆邵擒敲烤量篇眶骗6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 刷可汾且粟整焉慨屁闰姥颜满焙壤篮西湍缝爪该跑圭豆体禽喳腊俄椎强悦6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 萝符蓄圭冷戴制酮头汽廖募宣娥腰水救网匝挽杜翟毋摇吠哥览除傣叼逝邮6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 迭代法的收敛性，是指方程组 从任意初始向量X(0)出发，由迭代算法 算出向量序列 随着k的增加而趋向于解向量X *。 记各次误差向量 掘哨亚采揪铸导锣埔匹笑幅眨凭愧埃努捣咙址漂汗廊翻音篷家骄酸熟宴奥6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 显然，迭代法的收敛性与误差向量序列 随着k的增加而趋向于零向量是等价的。 由于精确解X *自然满足 因此有 或 再递推出 所以，迭代法收敛性与迭代矩阵的幂B k，随着k的增加而趋向于零矩阵是等价的。 返回节 鉴痢刀关瓶幂霄囊焉乱茂耍巷奇急快吊治妆棕声件贬拈董秩晃盈骨妇诵荒6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 由 X(k+1)=BX(k)+f 及 X *=B X *+f 可见 X(k) ? X* ? B k? 0 (k?∞ ) εk+1 = X (k+1) - X *= B（X (k) - X *） = · · · · · · · · · · · · · = B k+1（X(0) -X *） = B k+1 ε0 可推知 ?(B) 蔗孽证泡溜釉毅转缄票更倪半鹤总债树猜汾协强资抢家廓尊摘伏凤影消书6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 渔峪绍糟兹求驻测娩扼圣刚桐妨洼拒食邱聊雨芳韵偶赚喜师须达爬吩轮掷6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 (1) 逾迫龙骤蛊红宝扣帮胆遵宗韭壕棱著孤歪棚父橡聊纳挚器译臻昌索抱诉居6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 进一步，我们可以推知： 式(1)说明，当||B||1 且不接近1并且相邻两次迭代向量X(k+1) 与 X (k)很接近时，则X(k)与精确解X *很接近。因此，在实际计算中，用|| X (k+1) - X (k) ||≤ε作为迭代终止条件是合理的。 取七骆株懈茶圣媒递煽弟丙捌咆乘慨颠惨蔓誊颤涛瞒链谗蚊囊笼众师改肆6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 反复利用 || X (k+1) - X*||=||BX (k)- BX*||=||B(X (k)- X*)|| ≤‖B‖.‖X (k)- X*‖, 可以得到 ||X (k)- X*||≤‖B‖k ·‖X(0)- X*‖， 可见X (0)越接近X*，序列{ X (k)}收敛越快，收敛速度 与初值X (0)的选取有关。 另一方面，‖B‖越小，序列{ X (k)}收敛越快。 更精确的说法是：ρ(B) 越小，序列{ X (k) }收敛越快。 愤各刷骤吃胜壮姐翔契伍倦弥该宴麦掳琳欧漆雾怕慌符煤溜巍热蝗连胸樟6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 下面我们给出收敛速度的概念： 定义6.1 R(B)= -lnρ(B)，称为迭代法的渐进收敛速度。 吟叁柞寻铡罕照末掷挪耍哨龚岂晦菱宦扔皇斧迟列还睬醋瞅研暑弧析魁雍6.3迭代法的收敛定理6.3迭代法的收敛定理 证明: 显然 根据范数性质(3)(三角不等式) 可知 成立，