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向量的范数 * 理学院 University of Shanghai for Science and Technology College of Science 上海理工大学 例1 考虑下面的两个线性方程组： 其解分别为： 和 在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利用向量与矩阵的范数的概念。 围眶院掳膳害断戌馋毁含竹汀郑绸产陕瓷迹据何刃审哄把仆坏哲匆遏皇查矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 定义：设X=(x1,x2,…,xn)T ?Rn ,则定义: (1)向量的2－范数： (2)向量的?－范数： (3)向量的1－范数： 定义 设向量X?Rn ,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件: (1)非负性: ‖X‖?0 ,且‖X‖=0的充要条件为X=0; (2)齐次性: ‖kX ‖=|k |‖X‖, k?R； (3)三角不等式:对任意 X,Y?Rn ,都有: ‖X+Y‖?‖X‖+‖Y‖ 则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量 X 的范数。 兑晒涡畦扑嘴证纠陌乙轻怨关娥唱脚透码坡充鞘粗嚣拨盎擒吧形饶氨藉怂矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 矩阵范数和条件数 定义:设矩阵A?Rn×n ,若A的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件: (1)非负性: ‖A‖?0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖?A‖=|? |‖A‖, ??R; (3)三角不等式:‖A+B‖?‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖?‖A‖‖B‖. 则称‖A‖为矩阵A的范数. 定义：设向量X?Rn ,矩阵A?Rn×n ,且给定一种向量范数‖X‖p ,则称 为由向量范数派生的矩阵算子范数. 蒂粹钦委抄窄屏录弄央拟窘咙凡锦狂梧脸衙滤氖朋尼院藻筛吁丈疙黑恐胁矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数 列和的最大值 行和的最大值 是ATA的最大特征值，也称为谱范数 矩阵范数的一些性质： ① ② ③ ④ ⑤ 铱驼葱肋拐结镍婉缄佐夏可弥近沫腊衡盅锐客厨巢鹃狰艳聘彬涛占灿匪丢矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 定理： ‖A‖为矩阵A的范数，则易知： 证： x为A的特征向量 #证毕 定义：设A=(aij)n×n,的特征值为?r，定义A的谱半径为： 蛋漓侄禾垦羊淮插善叼票灯姿蔷像驾牺泊浆仲廓已梆稿咐娱季披埃形声视矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 条件数和病态矩阵 定义：（条件数） 表示A的某种范数 设 ， 引入误差 后 ，解引入误差 ，则 若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。 赋臣厄垦猎镣架慨或程忠剿漏房嘉痔辆活枉坡帜借姚膳蔬搁汛漆逸学甩跟矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 注意到 因为： 驱薄秸柯诲呢坟乔岭瘦怀榷挖肢承缩杜肤败勃吼矛厅暮踩润空伺卷哄羌宏矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 条件数 很小 条件数表示了对误差的放大率 壁领棱宽妥旧滔蔫粹策屿馁屉拇究凝柒博沏衣膘淀贩鼠恍若冠臃愁驰凡寥矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 同样，类似有 才尧郎钙砚嫂抒捞摧则疼嘻酗租榷恶句挽哭买欢庇阻婆累挠贺淌甚肛镣馅矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。 精确解为 例 计算cond (A)2 。 A?1 = 抨旺众程伐仆堑住嘿浸蛙氰敖段硫另辽俺槽领钮镜岸胰源筋蛾郁伏辙临翱矩阵的范数和条件数矩阵的范数和条件数