六年级排列与组合(加法原理与乘法原理).docVIP

在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题： 问题一：从A地道B地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。那么从A地道B地共有多少种不同的走法？ 问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。 加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有种不同的方法，第二类方法中有种不同的方法…….第n类方法中有种不同的方法。那么，完成这件事共有种不同的方法。 乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法。那么，完成这件事共有种不同的方法。 【例题1】每天从武汉到北京去，有4班火车，2班飞机，1班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？ 解:4+2+1=7(种) 【拓展1】学校开展读书竞赛活动，小明要从4本故事书、2本文艺书、3本科技书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法? 【例题2】如图，从家村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。小华从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？ 【拓展2】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年解题技能展示大赛试题）在右图的每个方格中各放1枚围棋子（黑子或白子），共有多少种不同的放法？ 【例题3】数学活动课上，张老师要求同学们用0、1、2、3这四个数字组成三位数，请问：（1）可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个不相等的三位数？ 解：（１）3×3×2=18（个） （3）3×4×4=48（个） 【拓展3】用1、2、3、4这四个数可以组成多少个没有重复数字的四位数? 【例题4】十把钥匙开十把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来? 解：9+8+…+2+1=45（次） 【拓展4】15把钥匙开15把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来? 【例题5】用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域所染的颜色不同。请问：共有多少种不同的染色方法? 思路点拨：从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况。解答本题的关键在于：①对有最多相邻区域的区域先染色；②对不相邻的两个区域染成同色。 解：（1）当区域A与区域E的颜色相同：A有5种不同的方法，B有4种不同的方法，C有3种不同的方法，D有3种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×3=180（种）。 （2）当区域A与区域E的颜色不同时：A有5种不同的方法，E有4种不同的方法，B有3种不同的方法，C有2种不同的方法，D有2种不同的方法。根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×2×2=240（种）。 （3）根据加法原理，不同的染色方法共有180+240=420（种） 【拓展5】如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、白、绿五种颜色中的某一种涂染，若使相邻的区域涂不同的颜色，问：有几种不同的涂法? 【例题6】某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号? 思路点拨：用一面旗子可以表示3种不同信号（红、黄、蓝），用两面旗子可以表示3×2=6（种）信号，用三面旗子可以表示3×2×1=6（种）信号，运用加法原理，可以计算出表示信号的种数。 3+3×2+3×2×1=15（种） 【拓展6】右图是某以地区的道路分布图，A,B,C,D分别代表四个城镇，那么从A镇去C镇一共有多少种不同的走法?(每个点不重复经过) 【例题7】将A、B、C、D、E、F、G七位学生在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法? 思路点拨：可以分两类情况考虑： 若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人分别有5，4，3，2，1种站法选择，这种情况共有2×1×5×4×3×2×1=240（种）不同站法。 若B站在中间，B有五种选择。B无论在中间何处，C都有两种选择，另五人分别有5、4、3、2、1种站法选择，这种情况共有5×2×5×4×3×2×1=1200（种）不同站法。因此七人排一列，B与C必须相邻，共有240+1200=1440（种）不同 【拓展7】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）节日期间，小明将6个彩灯排成一列，其中有2个红灯，4个绿灯。如果两个红灯不相邻，则不同的排法有