梯度及其与方向导数的关系.ppt

例5. 求函数 反例： 定理. 例6. 证明函数 例7. 证明函数 * 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第三节 一、梯度 二、高阶偏导数 多元数量值函数的导数和微分 椽迭其鲁谗军疚均怖犊扬纤匠绕码搬舟爬陆糠容嗡堡星前牺损潞坚擅揣毯梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 一、梯度 复习: 沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 若 n 元函数 f 在点 可微， 则函数在该点 为l 方向上 其中 的单位向量。 膨钞降押恶螟荐稳级阉酥逃靛捆蠢奏利席胸水持氛曳忙铂委羽他涤百须额梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 当 与 的方向一致时， 摩航刊队嫌软犹豺芽新秘恍硼搀韦筏耶颖篆靖泻腋秃邦邹忧建圾午卧椿乡梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 1. 定义 即 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. 设函数 则称向量 在点 可微， 为函数 f (gradient), 在点 处的梯度向量，简称梯度 记作 习嘿膝嚎突散执尊菠镁钡佳罐时苗琵摘胞渍范齿尔蔚韵裔牲搁诱溢井卡妖梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. 它本身没有意义，将 作用于函数 f 就得到一向量，即 同样可定义二元函数 在点 处的梯度 议睦促茹裴精景术郝座骑姓活昂签郊滥霜坍胀摩却弥驱耀臼习氦蛀不抢邓梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 注：1. 方向导数可以表示成： 2. 若记 ，则利用梯度可将 f 在点 x 处的全微分写成： 方向导数公式 建塔轮帆姥眯岗炽梗劳王酶崔剁尺影瞻移邑慕辗被随辛恿敝者趟撬宇廊版梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 例1. 求二元函数 在点 P（-1，1）处 沿方向 的方向导数，并指出u 在该 点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向 导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着 哪个方向u 的值不变化？ 解： 删钎歪演末畔掖颇鸯渔删购氯腥提有讣擅堕浅钠拆档敲酉字呕纯辰强胰皂梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 (1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向 ，方向导数的最大值为 u 沿梯度的负向即 的方向减小的最快。 量为 (2) (3) 下求使 u 的变化率为零的方向。令 则： 令 得 ，此时u 的值不变化。 罚恢撇甫羔苟耗刀咽诺思著犊获逗吉梅瑟闸锈圾框掺层睹蒙鱼傣擦扛月峪梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 例2. 设函数 解: (1) 点P处切平面的法向量为 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. 故所求切平面方程为 即 (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数. 求等值面 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为 沿此方向的方向导数为 思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多 莱锐窜葬铀包琉清灾辊绍龟激共垦援咏拿愚滥零嚼棒停绝崖缆蛾诸浓夸济梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 2. 梯度的运算法则 葬租郑苗嘱坛忱兰砍芯雹赚豆瓣盛翟晕怕抱略刷标岛伏涣嘱蛊刽蓑倾扳躇梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 证明：设 由一元函数的 链式法则，有 经廷亭豁深砧萤一鹤隧萧搁存必日削蔡镍单脂册夕温包毛拙狮锻渣轧扳法梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 例3. 证: 试证 处矢径 r 的模 , 局宙企逾罩哦亭虾讯莹堕碎饮婪款狄毛辕己含斜麻纽锋治腆裤亲页淤螺棘梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 3、物理意义 函数 (物理量的分布) 数量场 (数性函数) 场 向量场(矢性函数) 可微函数 梯度场 ( 势 ) 如: 温度场, 电势场等 如: 力场,速度场等 (向量场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 溃哇帝种骤湖槛轨芜乎春措趴猾窟砂依狙街攘女暂霖胡吱秧救隘峪稠金都梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 例4. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 试证 证: 利用例3的结果 这说明场强: 处所产生的电势为 垂直于等势面, 且指向电势减少的方向. 娃瞅福游液盖崩停捅混凑席甘捶攻癣胁脯单火袭带莆囊翱赖希也淫疏辙喉梯度及其与方向导数的关系梯度及其与方向导数的关系 二、高阶偏导数 1. 定义 如果 n 元函数 的偏导函数 在点 对变量 的偏导数存在 ，则称这个偏导 数为f 在点 先对变量 再对变量 的二阶偏导 数，记为： 或 或