从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分【DOC精选】.docVIP

从微分、积分的角度谈谈R积分与L积分的关系 一、从黎曼积分到勒贝格积分 勒贝格积分是20世纪初（1902年）法国数学家勒贝格提出来的，它的发展比数学分析中所讲的黎曼积分（1854年）要迟半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要的作用，但是这些都限于古典范围.近代物理与概率论的发展，要求更为精密的数学工具.而且可以说，黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，这对量子力学中的物理量与一般随机量的数学期望值来说显然是不够用的.就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活深刻与自然的.在数学史上，正是由于这一类问题的提出，才促使勒贝格积分的产生.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚，所以我们的前辈们在黎曼积分的基础上发展出了勒贝格积分. 从定义出发看黎曼积分和勒贝格积分 1、积分的定义 设上有界，对作分割即=.其中令，，，，， ，分别称为上积分和下积分，如果上、下积分存在且相等，则称在上可积.将上、下积分的公共值记为在上的积分，记为. 我们说黎曼积分的定义是从求曲边梯形的面积引入的，我们回忆一下其最原始的概念。设是定义在上的有界函数，区间的任一分化 将分成部分，在每个小区间上任取一点， 作和，令，如果对区间任意的分化，任取，当时，趋于有限的极限，则称它为在上的积分，记为：。积分的思想是“分割、近似求和、求极限”，在此定义中，的可积性与的存在性是统一的，但在我们的实际应用中要求预先知道的值是不现实的，因此才又提出了在文章开头所给的那一定义. 2、勒贝格积分的定义 勒贝格提出了从分割值域入手的积分：任给0,作分割 其中，分别为在上的下界和上界。令，，如果存在，则将其定义为：. 而对于一般可测函数的积分定义为：设在可测集上可测，若记 、，则有，如果和不同时等于，则称在上积分确定，且有 当此式右端两个积分值都有限时，称在上可积. 我们发现，对于上的有限正值函数，为使在可积，按照黎曼积分的思想，必须使得在分割后，的振幅足够小，这使得具有较多激烈震荡的函数被排除在外.建立在勒贝格测度论的基础上，可以统一处理有界和无界的情形。而且勒贝格积分可以定义在更一般的点集上面.此外，黎曼积分的建立是通过分割定义域，对和式求极限而得来的，这只是当每个小区间上所取值的改变而引起的的变化极小，或者即便变化较大，但是改变较小时，才可积.勒贝格积分却改变了这种现象，它是对函数的值域进行分割，把函数值相差不大的点结合在一起，从而扩展了可积函数类，使得好多问题迎刃而解了.因此，对定义域和值域的分割是积分和积分的本质区别. 三、黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较 1、可积的条件： ①可积的必要条件是：上有界.(这说明任何黎曼可积的函数一定有界，但是有界函数未必黎曼可积。例如，我们都知道狄里克雷函数是有界函数，但它不是可积的.这与积分不同，积分可以是无界的） ②可积的充要条件： I 定义在上的有界函数，可积的充要条件为：上的黎曼上积分等于黎曼下积分，即 II 定义在上的有界函数，可积的充要条件为：，总存在某一分割，使得 III 定义在上的有界函数，可积的充要条件为：对任给的正数，总存在某一分割，使得属于的振幅的小区间的总长不超过 IV 函数上可积的充要条件是：当时，大和和小和都趋于同一极限 利用条件IV我们知道，上有界单调函数是可积的.上的连续函数必然可积.当然也有不连续的可积函数存在. 2、可积的条件 ① 设是可测集上的有界函数，则在可积的充要条件是：上可测.（即对于中测度有限的可测集上的有界函数可测性与可积性等价） ② 设，是上的可测函数，，则在上可积的充要条件为 ③ 设上反常积分存在，则上可积的充要条件为：上反常积分存在，且有 ④ 设为可积函数列，在上几乎处处成立，且，则可积. 根据以上对黎曼积分和勒贝格积分的积分条件的讨论，我们说非可积的例子是容易举出的.例如，在上定义的狄利克雷函数： 就不是可积的.事实上，对区间的任意分划，一切积分大和等于1，一切小和等于0.因而不可能是可积的.但是，我们注意到，就知道的积分存在且等于0.由此我们可以看出在某些方面，积分比积分更优越，在后面我们再具体分析积分的优越性. 四、积分与积分的性质比较 1、积分的性质： I 如果上可积，为常数，则在上也可积，且有 II 若、在可积，则在上也可积（且，） III 有界函数上都可积，则上也可积，且有. IV 设在可积，且，，则 V 若上可积，则上也可积，且有 VI 设