第五章第一节.docVIP

§1 向量内积 一、向量内积 用表示维行向量空间，即 定义1 两个维行向量的内积为 . 两个同维向量的内积是对应的分量的乘积之和, 它是一个实数. 显然, 两个维行向量的内积为. 两个维列向量的内积为. 例1 求向量的内积. 解 向量内积有以下基本性质.对于任取的,有 (1) 对称性：. (2) 线性性： . . 它们可以合并为 . (3) 正定性：而且. (4) 许瓦兹（）不等式：. （﹡） 而且式（﹡）中的等号成立当且仅当线性相关. 关于向量内积的前三条性质的证明是显然的，现在证明第(4)个性质. 若，则（﹡）式中的等号显然成立. 设，则.取，其中为某个参数，则必有 特别,取，就有 即.据此立刻可以证得（﹡）式成立. 其中等号成立当且仅当，即线性相关. 二. 向量的长度与夹角 定义2 维行向量的长度指的是实数 . 当时,称为单位向量. 的长度的计算公式为. 为单位向量当且仅当. 向量长度有以下三条基本性质： （1）非负性：. （2）齐次性：. 这里, 是数的绝对值. （3）三角不等式：. 当时, 称 为向量与的夹角. 两个向量的夹角总介于与之间. 关于向量长度前两条性质的证明是显然的.现在证明三角不等式. 用许瓦兹不等式 , 即 . 可以得到数字不等式 ， 两边开方，即得所需的三角不等式. 三角不等式的几何含义是：三角形的两边的长度之和不小于第三边的长度. 在中的个标准单位向量 , 其中第个分量是, 其它分量都是. 它们都是单位向量. 但是, 如果说是单位向量, 那么仅是指它的长度为, 并不是说. 任意一个非零向量都可以单位化：. 即用的长度去除中的每一个分量. 事实上 例2 对于, 有 . 对于, 有 . 在求的单位化向量时, 可把正倍数去掉, 直接求的单位化向量. 三. 规范正交基 定义3 设. 如果，则称正交. 记为⊥. 两个向量与正交当且仅当 由此定义可知，零向量与任意同维向量都正交. 反之，如果某个维向量与中的任意一个向量都正交，那么当然与正交. 于是，由知道必有. 定义4 如果一个向量组中不含零向量, 且其中任意两个向量都是正交的(简称为两两正交), 则称这个向量组为正交向量组. 定义5 设，是中的一个正交向量组, 且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组. 若向量空间的一个基是正交向量组, 则称这个基是正交基; 若向量空间的一个基是标准正交向量组, 则称这个基是标准正交基或规范正交基. 我们常把标准正交向量组所满足的两个条件合并写成内积等式 .其中专用记号称为 kronecker 符号. 定理1 正交向量组一定是线性无关组. 证 设是一个正交向量组. 如果有向量等式 , 则由向量之间的两两正交性知道，对于任意一个 必有 由和知. 于是, 为线性无关组. 证毕 例3 取定.考虑在中与此正交的所有向量全体 证明必是中的子空间. 称为在中的正交子空间. 证 首先，由知道. 其次，任取，则由知道 ，这里，为任意实数. 这说明. 所以是中的子空间. 证毕 例4 在中 ，显然是标准正交向量组. 不难直接验证以下三个三维向量也是中的标准正交向量组 . 例5 已知3维空间中的两个向量 正交, 试求一个非零向量, 使两两正交. 解 记 , 解线性方程组 . 由 , 得等价线性方程组 得基础解系, 取即可. 四. 施密特()正交化方法. 因为线性无关向量组未必是正交向量组, 所以自然会提出问题: 如何根据已给的线性无关向量组, 构造出与它等价的正交向量组. 为此, 我们将介绍施密特()正交化方法. 如果已经给出含有个向量的线性无关向量组 ， 那么一定可以按以下步骤得到正交向量组 . 它的计算步骤如下. 利用向量内积可依次求出所需的向量： , , , …… …… , ……