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第五章第一节
§1 向量内积
一、向量内积
用表示维行向量空间,即
定义1 两个维行向量的内积为
.
两个同维向量的内积是对应的分量的乘积之和, 它是一个实数.
显然, 两个维行向量的内积为.
两个维列向量的内积为.
例1 求向量的内积.
解
向量内积有以下基本性质.对于任取的,有
(1) 对称性:.
(2) 线性性: . .
它们可以合并为 .
(3) 正定性:而且.
(4) 许瓦兹()不等式:. (﹡)
而且式(﹡)中的等号成立当且仅当线性相关.
关于向量内积的前三条性质的证明是显然的,现在证明第(4)个性质.
若,则(﹡)式中的等号显然成立.
设,则.取,其中为某个参数,则必有
特别,取,就有
即.据此立刻可以证得(﹡)式成立.
其中等号成立当且仅当,即线性相关.
二. 向量的长度与夹角
定义2 维行向量的长度指的是实数 .
当时,称为单位向量.
的长度的计算公式为.
为单位向量当且仅当.
向量长度有以下三条基本性质:
(1)非负性:.
(2)齐次性:. 这里, 是数的绝对值.
(3)三角不等式:.
当时, 称
为向量与的夹角. 两个向量的夹角总介于与之间.
关于向量长度前两条性质的证明是显然的.现在证明三角不等式. 用许瓦兹不等式
, 即 .
可以得到数字不等式
,
两边开方,即得所需的三角不等式.
三角不等式的几何含义是:三角形的两边的长度之和不小于第三边的长度.
在中的个标准单位向量
, 其中第个分量是, 其它分量都是.
它们都是单位向量. 但是, 如果说是单位向量, 那么仅是指它的长度为, 并不是说.
任意一个非零向量都可以单位化:.
即用的长度去除中的每一个分量. 事实上
例2 对于, 有 .
对于, 有
.
在求的单位化向量时, 可把正倍数去掉, 直接求的单位化向量.
三. 规范正交基
定义3 设. 如果,则称正交. 记为⊥.
两个向量与正交当且仅当
由此定义可知,零向量与任意同维向量都正交. 反之,如果某个维向量与中的任意一个向量都正交,那么当然与正交. 于是,由知道必有.
定义4 如果一个向量组中不含零向量, 且其中任意两个向量都是正交的(简称为两两正交), 则称这个向量组为正交向量组.
定义5 设,是中的一个正交向量组, 且其中每个向量都是单位向量,则称这个向量组为标准正交向量组.
若向量空间的一个基是正交向量组, 则称这个基是正交基;
若向量空间的一个基是标准正交向量组, 则称这个基是标准正交基或规范正交基.
我们常把标准正交向量组所满足的两个条件合并写成内积等式
.其中专用记号称为 kronecker 符号.
定理1 正交向量组一定是线性无关组.
证 设是一个正交向量组. 如果有向量等式
,
则由向量之间的两两正交性知道,对于任意一个 必有
由和知. 于是, 为线性无关组. 证毕
例3 取定.考虑在中与此正交的所有向量全体
证明必是中的子空间. 称为在中的正交子空间.
证 首先,由知道.
其次,任取,则由知道
,这里,为任意实数.
这说明. 所以是中的子空间. 证毕
例4 在中 ,显然是标准正交向量组.
不难直接验证以下三个三维向量也是中的标准正交向量组
.
例5 已知3维空间中的两个向量
正交, 试求一个非零向量, 使两两正交.
解 记
,
解线性方程组
.
由 ,
得等价线性方程组
得基础解系, 取即可.
四. 施密特()正交化方法.
因为线性无关向量组未必是正交向量组, 所以自然会提出问题: 如何根据已给的线性无关向量组, 构造出与它等价的正交向量组. 为此, 我们将介绍施密特()正交化方法.
如果已经给出含有个向量的线性无关向量组
,
那么一定可以按以下步骤得到正交向量组
.
它的计算步骤如下. 利用向量内积可依次求出所需的向量:
,
,
,
…… ……
,
……
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