第五章第一节.docVIP

  1. 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
  5. 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
  6. 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们
  7. 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
  8. 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
第五章第一节

§1 向量内积 一、向量内积 用表示维行向量空间,即 定义1 两个维行向量的内积为 . 两个同维向量的内积是对应的分量的乘积之和, 它是一个实数. 显然, 两个维行向量的内积为. 两个维列向量的内积为. 例1 求向量的内积. 解 向量内积有以下基本性质.对于任取的,有 (1) 对称性:. (2) 线性性: . . 它们可以合并为 . (3) 正定性:而且. (4) 许瓦兹()不等式:. (﹡) 而且式(﹡)中的等号成立当且仅当线性相关. 关于向量内积的前三条性质的证明是显然的,现在证明第(4)个性质. 若,则(﹡)式中的等号显然成立. 设,则.取,其中为某个参数,则必有 特别,取,就有 即.据此立刻可以证得(﹡)式成立. 其中等号成立当且仅当,即线性相关. 二. 向量的长度与夹角 定义2 维行向量的长度指的是实数 . 当时,称为单位向量. 的长度的计算公式为. 为单位向量当且仅当. 向量长度有以下三条基本性质: (1)非负性:. (2)齐次性:. 这里, 是数的绝对值. (3)三角不等式:. 当时, 称 为向量与的夹角. 两个向量的夹角总介于与之间. 关于向量长度前两条性质的证明是显然的.现在证明三角不等式. 用许瓦兹不等式 , 即 . 可以得到数字不等式 , 两边开方,即得所需的三角不等式. 三角不等式的几何含义是:三角形的两边的长度之和不小于第三边的长度. 在中的个标准单位向量 , 其中第个分量是, 其它分量都是. 它们都是单位向量. 但是, 如果说是单位向量, 那么仅是指它的长度为, 并不是说. 任意一个非零向量都可以单位化:. 即用的长度去除中的每一个分量. 事实上 例2 对于, 有 . 对于, 有 . 在求的单位化向量时, 可把正倍数去掉, 直接求的单位化向量. 三. 规范正交基 定义3 设. 如果,则称正交. 记为⊥. 两个向量与正交当且仅当 由此定义可知,零向量与任意同维向量都正交. 反之,如果某个维向量与中的任意一个向量都正交,那么当然与正交. 于是,由知道必有. 定义4 如果一个向量组中不含零向量, 且其中任意两个向量都是正交的(简称为两两正交), 则称这个向量组为正交向量组. 定义5 设,是中的一个正交向量组, 且其中每个向量都是单位向量,则称这个向量组为标准正交向量组. 若向量空间的一个基是正交向量组, 则称这个基是正交基; 若向量空间的一个基是标准正交向量组, 则称这个基是标准正交基或规范正交基. 我们常把标准正交向量组所满足的两个条件合并写成内积等式 .其中专用记号称为 kronecker 符号. 定理1 正交向量组一定是线性无关组. 证 设是一个正交向量组. 如果有向量等式 , 则由向量之间的两两正交性知道,对于任意一个 必有 由和知. 于是, 为线性无关组. 证毕 例3 取定.考虑在中与此正交的所有向量全体 证明必是中的子空间. 称为在中的正交子空间. 证 首先,由知道. 其次,任取,则由知道 ,这里,为任意实数. 这说明. 所以是中的子空间. 证毕 例4 在中 ,显然是标准正交向量组. 不难直接验证以下三个三维向量也是中的标准正交向量组 . 例5 已知3维空间中的两个向量 正交, 试求一个非零向量, 使两两正交. 解 记 , 解线性方程组 . 由 , 得等价线性方程组 得基础解系, 取即可. 四. 施密特()正交化方法. 因为线性无关向量组未必是正交向量组, 所以自然会提出问题: 如何根据已给的线性无关向量组, 构造出与它等价的正交向量组. 为此, 我们将介绍施密特()正交化方法. 如果已经给出含有个向量的线性无关向量组 , 那么一定可以按以下步骤得到正交向量组 . 它的计算步骤如下. 利用向量内积可依次求出所需的向量: , , , …… …… , ……

文档评论(0)

f8r9t5c + 关注
实名认证
文档贡献者

该用户很懒,什么也没介绍

版权声明书
用户编号:8000054077000003

1亿VIP精品文档

相关文档