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第四章_质点组动力学_习题解答
4.1、在一半径为的圆圈上截取一段长为的圆弧,求出这段圆弧的质心位置。
解:建立如图所示的直角坐标系,长为的圆弧的夹角范围
由质心定义:
考虑到圆弧的对称性和坐标的选取,写成正交分解式得:
所以在图所示坐标系中,圆弧的质心坐标为:
4.2、求出半径为的匀质半球的质心位置。
解:取球心为原点,建立如图所示的直角坐标系
取右侧半球进行计算。因半球关于轴对称,所以质心
位于轴上。把半球看成是垂直于轴的系列厚度为
的薄圆片堆砌,那么距离原点为处、半径为的薄圆片
的质心为设半球的密度为
厚度为的薄圆片的质量为:
则半球的质心位置为:
所以半球的质心位置在图示坐标中为
4.3、两只质量均为的冰船,静止地放在光滑的冰面上。一质量为的人自第一只船跳入第二只船,并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。
解:取两只冰船和人为系统,在水平方向受到合外力为0,故在水平方向系统动量守恒。
第一只冰船最后的速度为,第二只冰船最后的速度为,那么人的最后速度为
初始时,系统静止,所以有:
即,负号表示,的速度方向相反。
4.4、一船以速度前进,船上某人以相对速度向船头抛出一质量为的铁球。已知船和人的总质量是。求人抛掷铁球所作的功。
解:在质心坐标系中,设船相对质心的位矢为,铁球相对质心的位矢为,那么铁球相对船的位移为:,由质心定义,质心系中质心为原点。
联立两式有:,,求导有:
,
由动能定理可求出:
4.5、一质量为的粒子爆炸成质量相同的三小块。其中两块的飞行方向相互垂直,它们的速率分别是和。求出第三块的速度和动量的大小。
解:在直角坐标系中,设粒子爆炸后第一块速度是,第二块速度是,第三块的速度为,爆炸时内力远大于外力,动量近似守恒:
所以有:,动量为
4.6、重量为的大楔子放在光滑的水平面上,在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔子的重量是。大、小楔子的水平边长分别为和。小楔子自大楔子顶部静止下滑,求小楔子完全下滑到水平面时(如图虚线所示),大、小楔子分别移动了多少距离?
解:取小楔子静止下滑时,大楔子的直角顶点为原点,建立一维坐标系如图所示。
设小楔子的位矢为,大楔子的位矢为,那么小楔子相对大楔子的位移为
当经历时,小楔子完全下滑到水平面时,
(1)
初始时刻, (2)
小楔子和大楔子在水平方向上所受
的合外力为零,动量守恒: (3)
对(3)式积分有: ,为积分常数
当时,,由(2)式知,
所以当经历时,小楔子完全下滑到水平面时有:
(4)
联立(1),(4)两式解得:,
4.7、一炮弹以仰角发射,速率为,当炮弹达到最高点时,爆炸成质量人别为和的两块弹片。已知火药爆炸的能量是。爆炸后的瞬时,两弹片仍沿原方向飞行。求两弹片落地时相隔的距离
解:设爆炸后质量为和的两块弹片的速度为别为和,爆炸过程内力远大于外力,动量守恒,当炮弹达到最高点时,速度为。即
因爆炸后两块弹片仍沿原方向飞行,所以有:
爆炸后的能量守恒:
联立上两式可求得:,
所以落地时相隔的距离为:
4.8、重量为的人,手里拿着一个重量为的物体,以与地平线成角度的速度向前跳出。当他达到最高点时,将手中的物体以速率向后抛去。问抛出物体后,人向前跳的距离增加多少?
解:取人和物为系统,水平方向受力为0,动量守恒。设人抛物后的速度为
即
解得
所以人向前跳增加的距离为:
4.9、质量为的物体沿一直角劈的光滑斜面下滑,直角劈的质量为,倾角为,置于光滑水平面上。求:
(i)物体水平方向的加速度分量
(ii)劈的加速度大小
(iii)劈对物体的反作用力和水平面对劈的反作用力
解:建立如图所示的静止一维坐标系,取物体下滑时,直角劈的直角顶点为原点。
设质量为的物体的水平位矢为,质量为的直角劈的水平位矢为。
物体在直角劈下滑时,物体和直角劈整体在水平方向不受力,动量守恒:
(1)
求导有: (2)
若以直角劈为参照物,那么物体受和如图示。
设物体相对斜面下滑的加速度为,则有:
即 (3)
从而物体的水平方向的加速度为:
即 (4)
联立(2)、(3)、(4)可得:,
若以直角劈为参照物,那么物体在垂直于斜面方向合力为0,则有:
即
代入可得
直角劈的受力如图所示,在竖直方向有:
即
代入和可得
4.10、质量为、半径为的光滑半球,其底面放在光滑的水平面上。一质量的质点沿此半球面下滑。设质点跟球心的连线与铅直轴之间的夹角为。已知初始时系统是静止的,。求当时,的值。
解:如图,取半球静止时圆心为原点,建立静止直角坐标系,
质点沿着半球滑下时,质点相对半球的速度为
设质点沿着半球滑下时,半球的速度为,那么质点的
速度为:
质点沿着半球滑下时,质点
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