第四章_质点组动力学_习题解答.docVIP

4.1、在一半径为的圆圈上截取一段长为的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。 解：建立如图所示的直角坐标系，长为的圆弧的夹角范围 由质心定义： 考虑到圆弧的对称性和坐标的选取，写成正交分解式得： 所以在图所示坐标系中，圆弧的质心坐标为： 4.2、求出半径为的匀质半球的质心位置。 解：取球心为原点，建立如图所示的直角坐标系 取右侧半球进行计算。因半球关于轴对称，所以质心 位于轴上。把半球看成是垂直于轴的系列厚度为 的薄圆片堆砌，那么距离原点为处、半径为的薄圆片 的质心为设半球的密度为 厚度为的薄圆片的质量为： 则半球的质心位置为： 所以半球的质心位置在图示坐标中为 4.3、两只质量均为的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。 解：取两只冰船和人为系统，在水平方向受到合外力为0，故在水平方向系统动量守恒。 第一只冰船最后的速度为，第二只冰船最后的速度为，那么人的最后速度为 初始时，系统静止，所以有： 即，负号表示，的速度方向相反。 4.4、一船以速度前进，船上某人以相对速度向船头抛出一质量为的铁球。已知船和人的总质量是。求人抛掷铁球所作的功。 解：在质心坐标系中，设船相对质心的位矢为，铁球相对质心的位矢为，那么铁球相对船的位移为：，由质心定义，质心系中质心为原点。 联立两式有：，，求导有： ， 由动能定理可求出： 4.5、一质量为的粒子爆炸成质量相同的三小块。其中两块的飞行方向相互垂直，它们的速率分别是和。求出第三块的速度和动量的大小。 解：在直角坐标系中，设粒子爆炸后第一块速度是，第二块速度是，第三块的速度为，爆炸时内力远大于外力，动量近似守恒： 所以有：，动量为 4.6、重量为的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔子的重量是。大、小楔子的水平边长分别为和。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时(如图虚线所示)，大、小楔子分别移动了多少距离？ 解：取小楔子静止下滑时，大楔子的直角顶点为原点，建立一维坐标系如图所示。 设小楔子的位矢为，大楔子的位矢为，那么小楔子相对大楔子的位移为 当经历时，小楔子完全下滑到水平面时， (1) 初始时刻， (2) 小楔子和大楔子在水平方向上所受 的合外力为零，动量守恒： (3) 对(3)式积分有： ，为积分常数 当时，，由(2)式知， 所以当经历时，小楔子完全下滑到水平面时有： (4) 联立(1)，(4)两式解得：， 4.7、一炮弹以仰角发射，速率为，当炮弹达到最高点时，爆炸成质量人别为和的两块弹片。已知火药爆炸的能量是。爆炸后的瞬时，两弹片仍沿原方向飞行。求两弹片落地时相隔的距离 解：设爆炸后质量为和的两块弹片的速度为别为和，爆炸过程内力远大于外力，动量守恒，当炮弹达到最高点时，速度为。即 因爆炸后两块弹片仍沿原方向飞行，所以有： 爆炸后的能量守恒： 联立上两式可求得：， 所以落地时相隔的距离为： 4.8、重量为的人，手里拿着一个重量为的物体，以与地平线成角度的速度向前跳出。当他达到最高点时，将手中的物体以速率向后抛去。问抛出物体后，人向前跳的距离增加多少？ 解：取人和物为系统，水平方向受力为0，动量守恒。设人抛物后的速度为 即 解得 所以人向前跳增加的距离为： 4.9、质量为的物体沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的质量为，倾角为，置于光滑水平面上。求： (i)物体水平方向的加速度分量 (ii)劈的加速度大小 (iii)劈对物体的反作用力和水平面对劈的反作用力 解：建立如图所示的静止一维坐标系，取物体下滑时，直角劈的直角顶点为原点。 设质量为的物体的水平位矢为，质量为的直角劈的水平位矢为。 物体在直角劈下滑时，物体和直角劈整体在水平方向不受力，动量守恒： (1) 求导有： (2) 若以直角劈为参照物，那么物体受和如图示。 设物体相对斜面下滑的加速度为，则有： 即 (3) 从而物体的水平方向的加速度为： 即 (4) 联立(2)、(3)、(4)可得：， 若以直角劈为参照物，那么物体在垂直于斜面方向合力为0，则有： 即 代入可得 直角劈的受力如图所示，在竖直方向有： 即 代入和可得 4.10、质量为、半径为的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。一质量的质点沿此半球面下滑。设质点跟球心的连线与铅直轴之间的夹角为。已知初始时系统是静止的，。求当时，的值。 解：如图，取半球静止时圆心为原点，建立静止直角坐标系， 质点沿着半球滑下时，质点相对半球的速度为 设质点沿着半球滑下时，半球的速度为，那么质点的 速度为： 质点沿着半球滑下时，质点