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NP难问题求解综述 摘要：定义NP问题及P类问题，并介绍一些常见的NP问题，以及NP问题的一些求解方法，最后最NP问题求解的发展方向做一些展望。 关键词：NP难问题 P类问题 算法 最优化问题 正文： 一，NP难问题及P类问题 为了解释NP难问题及P类问题，先介绍确定性算法和非确定性算法这两个概念，设A是求解问题Π的一个算法，如果在算法的整个执行过程中，每一步只有一个确定的选择，则称算法A是确定性（Determinism）算法。设A是求解问题Π的一个算法，如果算法A以如下猜测并验证的方式工作，就称算法A是非确定性（Nondeterminism）算法：（1）猜测阶段：在这个阶段，对问题的输入实例产生一个任意字符串y，在算法的每一次运行时，串y的值可能不同，因此，猜测以一种非确定的形式工作。（2）验证阶段：在这个阶段，用一个确定性算法验证：① 检查在猜测阶段产生的串y是否是合适的形式，如果不是，则算法停下来并得到no；② 如果串y是合适的形式，则验证它是否是问题的解，如果是，则算法停下来并得到yes，否则算法停下来并得到no。 什么是NP难问题，如果对于某个判定问题Π，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实例，能够以O(nk)的时间运行一个非确定性算法，得到yes或no的答案，则该判定问题Π是一个 NP 类（Nondeterministic Polynomial）问题。 令Π是一个判定问题，如果对于NP类问题中的每一个问题Π，都有Π∝pΠ，则称判定问题Π是一个NP难问题。 什么是P类问题，如果对于某个判定问题Π，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实例，能够以O(nk)的时间运行一个确定性算法，得到yes或no的答案，则该判定问题Π是一个 P 类（Polynomial）问题。所有易解问题都是P类问题。 P类问题和NP类问题的主要差别：P类问题可以用多项式时间的确定性算法来进行判定或求解；NP类问题可以用多项式时间的非确定性算法来进行判定或求解。 二，常见的NP类问题 上面介绍了什么是NP问题，下面我将介绍我查阅到的一些常见的NP问题，他们同时也是著名的NP问题。 ①，图着色问题：按图中所示方式将16条边着色，那么不管你从哪里出发，按照“蓝红红蓝红红蓝红红”的路线走9步，你最后一定达到黄色顶点。路线着色定理就是说在满足一定条件的有向图中，这样的着色方式一定存在。严格的数学描述如下。我们首先来定义同步着色。G是一个有限有向图并且G的每个顶点的出度都是k。G的一个同步着色满足以下两个条件：1)G的每个顶点有且只有一条出边被染成了1到k之间的某种颜色；2)G的每个顶点都对应一种走法，不管你从哪里出发，按该走法走，最后都结束在该顶点。有向图G存在同步着色的必要条件是G是强连通而且是非周期的。一个有向图是非周期的是指该图中包含的所有环的长度没有大于1的公约数。路线着色定理这两个条件(强连通和是非周期)也是充分的。也就是说,有向图G存在同步着色当且仅当G是强连通而且是非周期的。即TSP问题（Traveling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。经过美国克雷数学研究所的科学顾问委员会精心挑选出来的问题的获解上哪怕是获得了些许的进展，就将对数学理论的发展和应用产生极其巨大的推动作用。研究这些“千年大奖问题”已经成为世界数学界的热点，不少国家的数学家正在组织联合攻关，同时它们也是任何一个数学工作者都梦寐以求予以摘取的数学皇冠上的耀眼明珠。可以预期，这些“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。近世计算理论导引NP难度问题的背景、前景及其求解算法研究 第3页 共3页