概率论第一章习题参考解答.doc

概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A={出现3个正面} 基本事件总数n=23, 有利于A的基本事件数nA=1, 即A为一基本事件, 则. 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A={能打开门}, 则为不能打开门 基本事件总数, 有利于的基本事件数, 因此, . 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少? 解: 设A={能打开门}, 基本事件总数, 有利于A的基本事件数为, 因此, . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设Ai为取到i个次品, i=0,1,2,3, 基本事件总数, 有利于Ai的基本事件数为 则 12. N个产品中有N1个次品, 从中任取n个(1≤n≤N1≤N), 求其中有k(k≤n)个次品的概率. 解: 设Ak为有k个次品的概率, k=0,1,2,…,n, 基本事件总数, 有利于事件Ak的基本事件数,k=0,1,2,…,n, 因此, 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数, 有利于A的基本事件数为, 则 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率. 解: 设A为前两个邮筒没有信的事件, B为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数, 有利于A的基本事件数, 有利于B的基本事件数, 则 . 15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率. 解: 设事件A1为一等品, A2为二等品, B为合格品, 则 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16, B=A1+A2, 且A1与A2互不相容, 根据加法法则有 P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96 16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B为总数超过一角, A1为5个中有两个5分, A2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则 B=A1+A2+A3, 而A1,A2,A3互不相容, 基本事件总数 设有利于A1,A2,A3的基本事件数为n1,n2,n3, 则 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率. 解: 设Ai为取到i个次品, i=0,1,2,3, B为次品数不超过一个, 则B=A0+A1, A0与A1互不相容, 则根据11题的计算结果有 P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994 19. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B). 解: 根据题意有P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A为0.92, 系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B失灵的条件下, A有效的概率 解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, (1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即, 而, 则 (2) B失灵条件下A有效的概率为, 则 21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等. 证: 设事件A,B,C表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P(A)=4/10, 而由 由于A与互不相容,且构成完备事件组, 因此可分解为两个互不相容事件的并, 则有 又因之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有 分解为四个互不相容的事件的并, 且 则 因此有P(A)=P(B)=P(C), 证毕. 22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设A1,A2,A3零件由第1,2,3个机床加工, B为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组. 则