第二章插值法.pptVIP

第 2 章 插 值 法 2.2 拉格朗日插值 3.n次拉格朗日插值多项式 2.3 均差与牛顿插值公式 2.3.2 牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值 2.5 埃尔米特插值 2.6 分段低次插值 2.6.2 分段线性插值和二次插值 2.6.3 分段三次埃尔米特插值 2.7.2 样条插值函数的建立 2.7.3 误差界与收敛性 2.8 曲线拟合的最小二乘法 此时插值条件（7.1）中 . 这样确定的样条函数 称为周期样条函数. 这时边界条件应满足 （7.6） 3. 当 是以 为周期的周期函数时，则要求 也是周期函数. 下面利用 的二阶导数值 表示 . 由于 在区间 上是三次多项式，故 在 上是线性函数， （7.7） 对 积分两次并利用 及 ， 可表示为 可定出积分常数， 于是得三次样条表达式 方法一：利用Lagrange插值多项式求 这里 是未知的. （7.8） 为了确定 ,对 求导得 （7.9） 利用 和边界条件可得Mj . 同理可得： 方法二：利用Hermite插值多项式求 下面利用 的一阶导数值 表示 . 故 在区间 上应满足 于是由Hermite插值多项式得三次样条表达式： 有n+1个mi需确定，利用二阶导数连续及边界条件来确定。 试求三次样条函数 ，使它满足边界条件 例5 设 为定义在 上的函数，在节点 上的值如下： 求解得 由此得矩阵形式的方程组如下： 解 代入（7.8）得 曲线见图2-6 图2-6 只要把后一式代入前一式，就得到 其中 显然， 由前式确定的多项式 满足插值条件， 且次数不超过 ， 称 为牛顿（Newton）均差插值多项式. 系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计. 其系数为 它就是形如（3.1）的多项式， 但其更有一般性，它对 是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的. 由插值多项式惟一性知，此处的插值余项，与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加 插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项 即可. 解 首先根据给定函数表造出均差表 给出 的函数表（见表2-2），求3次牛顿插 值多项式，并由此计算 的近似值. 例 27 9 3 1 3 2 1 0 2 6 9 2 4/3 6 18 27 3 2 3 1 1 0 三阶均差 二阶均差 一阶均差 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式 可以进一步简化，计算也简单得多. 2.4.1 差分及其性质 设函数 在等距节点 上 的值 为已知，这里 为常数，称为步长. 为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念. 记号 定义3 分别称为 在 处以 为步长的向前差分，向后差分 及中心差分. 符号 ， ， 分别称为向前差分算子，向后差分算子 及中心差分算子. 利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义 阶差分为 由上面定义的差分算子，易推出差分可用函数值表示，函数值也可用差分表示，均差也可用差分表示。由此可推导出各种形式的等距节点插值公式。 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. (5.1) 这里共有 个插值条件，可惟一确定一个次数不超过 的多项式 ， 问题是求插值多项式 ， 设在节点 上， 现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法. 满足条件 其形式为 先以两个节点为例说明。 同理可求得n个插值