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例谈中考中的趣味三角形 四川省阆中中学 杨毅文 扬州大学《初中数学教与学》在2009年第8期上刊登了“例谈中考中的趣味数”，本文介绍中考中的趣味三角形。 一、折痕三角形 例1（陕西省压轴题）如图①、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形 （2）如图②，在矩形ABCD中，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）、如图③，在矩形ABCD中， AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？ 若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？ 思路和解答 理解定义，利用定义解决问题，画出满足题意的图形是解题的关键。 （1）是等腰三角形． （2）如图④，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2， ∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A． ∴四边形ABFE为正方形．∴BF=AB=2， ∴F（2，0）． （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4， 理由如下：①当F在边BC上时，如图⑤所示． S△BEF≤ S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4． ②当F在边CD上时，如图⑥所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K． ∵S△EKF= KF?AH≤ HF?AH= S矩形AHFD， S△BKF= KF?BH≤ HF?BH= S矩形BCFH， ∴S△BEF≤ S矩形ABCD=4． 即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4． 下面求面积最大时，点E的坐标． ①当F与点C重合时，如图⑦所示． 由折叠可知CE=CB=4，在Rt△CED中， ED= ∴AE= ∴E（，2） ②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑧所示．此时E（0，2）． 综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（， 二、奇异三角形 例2（宁波市）阅读下面情景对话，然后解答问题： （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=，AC=，BC=，且，若Rt△ABC是奇异三角形，求； （3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE． ① 求证：△ACE是奇异三角形； ② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数． ： 思路和解答 该题需学生读懂定义，用定义解题，再进一步用学过的知识进行拓展 （1）设三角形边长是a，则，是真命题 （2）在Rt△ABC中， ∵ ∴， ∴若Rt△ABC为奇异三角形,一定有 ∴ ∴ 得 ∵ ∴ ∴ （3）①∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ACB中， 在Rt△ADB中， ∵点D是半圆ADB的中点 ∴弧AD= 弧BD ∴AD=BD ∴ ∴ ∴ ∴△是奇异三角形 ②由①可得△是奇异三角形 ∴ 当△是直角三角形时： 由（2）可得或 　 Ⅰ）当时， 即 ∵ ∴ ∴ Ⅱ）当时， 即 ∵ ∴ ∴ ∴的度数为． 三、格点三角形 例3（龙岩）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.老师给小明出了一道题：在如图9所示的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出格点⊿ABC，使AB=AC=，BC=； （1）小明的做法是：由勾股定理，得AB=AC==，BC==，于是画出线段AB，AC，BC，从而画出格点⊿ABC . 请你参考