2012高考数学高频考点突破不等式的解法及其应用.pptVIP

[解析]　在平面直角坐标系中作出函数 y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图)，由于 不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数y ＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)的图象的下方，因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范围是[－4，＋∞)． [答案]　[－4，＋∞) [解法心得]　此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再求解即可．解不等式或证明不等式问题时经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式． 解不等式的实质是等价转化，要将给出的不等式转化为一元一次、一元二次不等式来求解，要注意转化的等价性.要熟悉一元一次不等式，一元二次不等式的解法,对于分式不等式，一般按照移项——通分——化乘积转化为整式不等式来求解. [例1]　已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集是B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于 (　　) A．－3　　　　　　　　　　　B．1 C．－1 D．3 (2)设a＝x2＋x＋2，x∈R，解不等式loga|x＋3| ＞loga(9－|x－2|)． [思路点拨]　 (1)先求集合A、B，再利用A∩B求a、b.(2)本题可以根据对数函数的单调性，将对数不等式转化为代数不等式，再脱掉绝对值求解． 解含有参数的不等式时，往往要分类讨论，在讨论时，要利用逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，最后综合给出答案．划分的标准是不重不漏．对于含有参数的一元二次不等式求解时，一般从三个方面进行分类讨论：一是对二次项系数的正、负、零的讨论；二是对二次函数判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的讨论；三是对二次方程两根x1、x2大小的讨论． [思路点拨](1)利用二次函数的性质可求f(x)的解析式； (2)把分式不等式转化为高次不等式，利用穿根法求解． 不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图象或利用判别式来解决，常见的思路有以下三种： (1)分离参变量通过等价变形，将变量与参数量从整体式中 分离出来，转化为f(x)＞(或＜、≥、≤)a恒成立问题． (2)借助函数图象或利用判别式来求解． 将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正(或非负)， 恒负(或非正)的问题，再借助图象或利用判别式来解决． (3)借助两个函数图象比较两函数值的大小． 通过构造两个函数，画出它们的图象，通过图象来比较两 个函数值的大小，即数形结合法来解决恒成立问题． [思路点拨]　本题中(2)可以转化为关于a的函数，也可分离参数求a的范围． [自主解答]　(1)f′(x)＝ax2－3x＋(a＋1)， 由于函数f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0. 即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1. (2)法一：由题设知ax2－3x＋(a＋1)＞x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立， 即a(x2＋2)－x2－2x＞0对任意a∈(0，＋∞)都成立． 设g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈R)． 则对任意a∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)． ∴对任意a∈(0，＋∞)，g(a)＞0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0. 于是x的取值范围是{x|－2≤x≤0}． 本题为导数与不等式结合的综合题，考查易误点在第(2)问，一是想不到转化为关于a的函数；二是忽略g(0)≥0中的“＝”． 把本例(2)中f′(x)＞x2－x－a＋1变为f′(x)≤x2－x－a＋1对任意a∈(－∞，0)都成立，求实数x的范围． 解：由题意知f′(x)≤x2－x－a＋1对任意a∈(－∞，0)都成立，即g(0)≤0，即－x2－2x≤0， ∴x≥0或x≤－2， ∴x的取值范围是{x|x≥0或x≤－2}.