第一章数学与微积分简明发展历程.doc

第一章 绪论 教学目的：了解数学形成的几个阶段和微积分的发展历程。 教学重点：1、微积分的发展历程； 2、微积分的研究内容。 教学难点：微积分的研究内容。 §1.1 微积分发展历程 一、数学的形成 数学，起源于人类早期的生产活动数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个及两个之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破 除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年也自然而然地产生了从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测事件而形成的这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究到了16世纪，算术、、以及等已大体完备17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换在研究的过程中，的方法被发明随着和技术的进一步发展，为研究而产生的和等也开始慢慢发展数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中.在变量数学创立时期，解析几何、微积分、微分方程、概率论等学科相继建立；在近代数学时期，分析学基础、微分方程理论、代数创新、几何演进、数学的公理化与抽象化等都在这一时期有了大发展.至今分析数学业已成为数学的主体，在它的发展和推动下，数学研究的分支大的有近百种，小的有近千种. 二、微积分诞生历程 1.古代朴素的微积分思想 中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想.公元前4 世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念，这是朴素的、也是很典型的极限概念.而极限理论便是微分学的基础. 古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积.这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源. 2.微积分诞生的社会背景和数学渊源 微积分的创立是继欧几里得几何之后全部数学当中最伟大的科学创举.它为什么在17世纪产生而不产生于天才的阿基米德时代或中国刘徽、秦九韶的年代？事实上，微积分是为了处理17世纪出现的迫切需要解决的科学问题而应运而生的.早在15世纪，欧洲开始文艺复兴，难民们带着希腊文化流入意大利.15世纪末，发现了美洲新大陆，完成了环球航行.商业、航海、天文和测量等活动日益繁荣，促进了流体力学、天体力学、几何光学以及相应的仪器研制与研究.16世纪，欧洲出现了毛瑟步枪和火炮.战争和枪炮，激发了运动学和动力学的研究，工程师们需要抛体运动的规律与加速度的计算. 黑暗的中世纪之后，在生产、殖民和技术的需求刺激下，科学技术以始料不及的力度迅速兴起.它迫切需要数学跟上来与之配合，更需要数学提供新的计算方法和新的理论依据.这一时期，如何计算任给图形的面积，如何计算任给立体的体积，如何由路程求速度和加速度，或者反过来，如何由速度求路程等等成为数学家责无旁贷的实际问题.它要求数学必须从理论上说清楚，从算法上搞明确，并形成有理有规与成型的数学工具. 3.牛顿、莱布尼兹创立微积分 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题.第二类问题是求曲线的切线的问题.第三类问题是求函数的最大值和最小值问题.第四类问题是求曲线弧长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等. 十七世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的卡瓦列利等人都提出过许多很有建树的理论.他们为微积分的创立做出了大量前期学术工作和巨大贡献. 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.虽然这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起.一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题).牛顿和莱布尼兹建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.微积分诞生的标志是牛顿-莱布尼兹公式，数学上称作微