12_行列式的性质与计算.pptVIP

第1.2节 行列式的性质 一、行列式的性质 定理1.2: 阶行列式D 的任意一行（列）的元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于D ；某一行（列）  的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子 式乘积之和等于０.　　　　　　　　　　　　　 练习1.2 (P18) 1. 判断下列命题是否正确？ (1)若n阶行列式D=0，则D有两行元素相同. (2)若n阶行列式D有一行元素为零，则D=0. (3)若二阶行列式D=0，则D的两行元素对应成比例． (4)若一个n阶行列式D中为零的元素超过 个,则 D=0. (错) (对) (对) (对) 例　 当 解: 第一行乘以-1加到其它各行上去可得 例 计算2n阶行列式 解 按第一行展开,有 再对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开,得 * 主要内容: 一、行列式的性质 二、行列式的计算 三、思考与练习 行列式 称为行列式 的转置行列式。 (transpose of determinant). 记 说明 : 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 推论：行列式可按列展开，也可按行展开． 性质1：行列式与它的转置行列式相等. 性质2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论: 如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则 此行列式的值为零. 性质３: 交换行列式两行（列）元素的位置行列式 变号. 证明: 提示：应用数学归纳法. 推论1: 如果行列式有两行（列）完 全相同，则 此行列式为零. 证明: 互换相同的两行，有 推论２: 行列式任一行（列）的所以元素与另一行 (列) 对应元素的代数余子式之乘积的和等于零. 推论3: 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此 行列式为零． Proof: 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 性质４: 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如: 性质５: 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一 数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列 式不变． 例如: 二、行列式的计算 (1) 降阶法： 例1: 计算 解法1：直接用定理1.2按第一行展开 =3 (?3+0+15 ?20+3+0) ?(15 ?24 ?3+4 ?15+18) ?(0+40 ?1 ?0+25+6) ?2(0?30+1 ?0 ?25 ?6) = ?15 +5 ?70 +120 =40. 解法2：利用性质 =40. 例2: 计算 解： x+1+…+n ?x+ x ?x+ x ?x+ x ? 例3: 计算 利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角 形行列式，从而算得行列式的值． (2) 三角形法： 解: 例4: 计算n 阶行列式 解: 将第 都加到第一列得 例5: 证明: 证明: 三、思考与练习题 *