抛物线的简单几何性质.pptVIP

* 2.4.2 　抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【思考】 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（重点） 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨 论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； （重点、难点） 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的 结合与转化 . 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程 研究它的一些简单几何性质. 探究点1 抛物线的简单几何性质 1.范围 因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同; 当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2.对称性 以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点． 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1． x y O F A B y2=2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的 弦AB，称为抛物线的通径. 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 2p越大，抛物线张口越大. 5.通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径. 焦半径公式： x y O F P 6.焦半径 方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） e=1 抛物线的几何性质 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的，为１; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大. 【提升总结】 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（２，　　），所以，可设它的标 准方程为 因为点M在抛物线上，所以 因此,所求抛物线的标准方程是 　 【例１】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标 原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程. 即p =2. 分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算. 下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法. x y O F A B B A 题 点 线 l x y O F A B B A 还可以如何求x1+x2? 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切． 证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C， 则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ 类型 三 抛物线中的证明问题 【典型例题】 1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. 2.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. 求证:(1)x1x2为定值. (2) 为定值. 【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关. 【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1, M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的 定义可知|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1