微观经济学数学分析方法.pptVIP

第二章 微观经济学分析的数学方法 凸集 定义 例子 1维空间：单个点 2维空间： 直线、射线、线段 圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等 三维空间呢？ 总结 “没有任何孔，边缘不能有缩进” ——蒋中一 意义 经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。 约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。 问题 经济学分析中，有哪些约束集合？ 练习题：判断下列集合是否为凸集 凹函数（concave） 凹函数的定义 以最简单的单变量函数为例来定义： ， 和 是定义域中的两个量， 令 ， 如果满足 则称为凹函数（小于等于，凸函数） 若 则称为严格凹函数（小于，严格凸函数） 直观图形 严格凹函数 A B C D 直观图形 非严格凹函数 总结 两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。 用一阶导数来定义 x f(x) 图示 总结 该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。 过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。 凹函数的定义 对双变量函数来说： 图示 A B C D z y 总结 在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。 一阶导数的定义 当且仅当： 即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。 对于多变量函数 凹函数的二阶导数的判定方法 若函数存在二阶连续偏微分，则： 与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵 多变量函数： 该函数的一阶全微分表示为： 二阶全微分表达式 简化表达 海塞矩阵（二阶导数矩阵） 二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵） 二阶导数的判定方法 当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。 负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零…… 当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。 负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零…… 顺序主子式值正负交替变化 二阶导数的判定方法 当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。 正半定：即顺序主子式值全部大于等于零 当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。 正定：即即顺序主子式值全部大于零 练习 检验下列函数的凹凸性： （使用顺序主子式方法检验） 拟凹函数（quasiconcave） 定义 定义 图示 N 函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。 A B 思考：与凹函数的关系？ 凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。 拟凹性是比凹性要弱的条件。 典型图示 X f(x) 上等值集判定方法 如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。 上等值集的定义： 例子： 一阶导数定义 拟凹函数的二阶必要条件 加边海塞矩阵 拟凹函数的充分条件 拟凸函数的充分条件 练习 无约束条件下的极值问题 最优化的一阶条件 满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？ 双变量的情形 A A 二阶条件 二阶必要条件 回忆：关于凹函数 等式约束条件下的最优化问题 自由极值、约束极值 在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。 但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。 x y z 自由极值 约束极值 多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量 约束条件下求极值的方法 拉格朗日乘数法 目标函数： 约束条件： 构造一个新函数： 面临多个约束时的一阶条件 面临多个约束时的一阶条件 拉格朗日乘数的含义 单个等式约束情形下极值的二阶条件 极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式 注意：与前面自由极值不同，所加的边是约束条件函数的一阶导数，而非目标函数的一阶导数；二阶矩阵是关于新函数F的二阶导数。 负定 多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504 拟凹函数与极大值 当函数为二阶连续可微的严格拟凹函数时，则在满足一阶条件的点上，二阶条件也能满足极大值的要求。当约束集是凸集（例如等式且线性约束）时，存在唯一的约束极大值解。 练习 不等式约束条件下极值问题* 线性规划 非线性规划