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2016寒假专题辅导（一）----椭圆及其简单几何性质 一．基础知识详解 （一）．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆， 即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。 2．标准方程： ①焦点在x轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）， ②焦点在y轴上：（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）。 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 （二）．椭圆的简单几何性质： 1.范围：（1）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤y≤b （2）椭圆（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤y≤a 2.对称性：椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴都是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点：（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b， a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率：（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率， 记作：e（） 是圆； e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1 （e越大），椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 5.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：， 当即为短轴端点时，的最大值为bc；最大角 解焦点三角形应注意以下关系(1) 定义：r1＋r2＝2a(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝) 到两点的距离之和 命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.方程化简的结果是 4．若的两个顶点，的周长为， 则顶点的轨迹方程是 ； 5. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。 若，则 。 6.椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心， 则的值是 。 7. 椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交， 一个交点为，则 。 8.椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若， 则 ； 。 考点二：根据椭圆的标准方程求参数范围表示焦点在轴上的椭圆,则实数k的范围是 . 5.方程所表示的曲线是 . 6. 是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点三：求椭圆的标准方程 1.已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点， 且则的方程为（ ） A. B. C. D. 根据下列条件求椭圆的标准方程： ①若椭圆经过点，; ②焦点在坐标轴上，且，; ③ 焦点在轴上，，; ④与椭圆共焦点，且过点; ⑤ 求以（0，－5）、（0，5）为焦点且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26； ⑥ 以坐标轴为对称轴，中心为原点，经过两点. 3.已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形， 焦点到椭圆的最近距离是。求椭圆的标准方程： 4.已知P点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离为和， 过点P作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 5.已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆的两个焦点一个 正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，－3），求椭圆C的方程。 考点四：椭圆的简单几何性质 （一）根据椭圆方程研究其性质 1.已知椭圆的长轴长是6，焦距是，那么中心在原点，长轴所在直线与轴 重合的椭圆的标准方程是 。 2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 , 焦距是