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高三数学第一轮复习讲义（71） 二项式定理（1） 一．复习目标： 1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题． 2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项或系数． 二．知识要点： 1．二项式定理： ． 2．二项展开式的性质： （1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ． （2）若是偶数，则 的二项式系数最大；若是奇数，则 的二项式系数最大． （3）所有二项式系数的和等于 ． （4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ． 三．课前预习： 1．设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，若，则 （ ） 4 5 6 8 2．当且时，（其中,且），则的值为 （ ） 0 1 2 与有关 3．在的展开式中常数项是；中间项是． 4．在的展开式中，有理项的项数为第3，6，9展开式里的系数为-168． 6．在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么． 四．例题分析： 例1．求展开式中系数绝对值最大的项． 解：展开式的通项为， 设第项系数绝对值最大，即， 所以，∴且，∴或， 故系数绝对值最大项为或． 例2．已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值． 解：由得，∴（舍去）或， 由题意知，，∴ 已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即， ∴，∴或，∴或． 经检验知，它们都符合题意。 例3．证明能被整除()． 证明：∵是整数，∴能被64整除． 五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．若，则的值为 （ ） 1 -1 0 2 2．由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有 （ ） 50项 17项 16项 15项 3．的展开式中，的系数为179．(用数字作答) 4．的展开式中，的系数为，常数的值为4． 5．求除以的余数． 解：∵由上面展开式可知199911除以8的余数是7． 6．（1）求展开式中系数最大项．（2）求展开式中系数最大项． 解：(1)设第项系数最大，则有 ，即，即， ∴且，∴． 所以系数最大项为 (2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较和两项系数大小即可．又因为 ，，所以系数最大的项是第五项为． 7．设，若展开式中关于的一次项系数和为11，试问为何值时，含项的系数取得最小值． 解：由题意知，即， 又展开式中含项的系数， ∴当或时，含项的系数最小，最小值为． 此时；或． 8．设展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求项的系数． 解：第项， ∴，即，∴， ∴或（舍负）． 令，即，∴． ∴项的系数． 9．求的近似值，使误差小于． 解：