静力学第三章.docVIP

力矩与平面力偶系 教学内容及基本要求： 力对点之矩，合力矩定理。力偶，力偶矩，平面力偶的等效条件。平面力偶系的合成和平衡条件。 正确理解并熟练计算力对点的矩，理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和等效条件，掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。 重点： 力对点的矩的计算，力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。 学时分配：2一、力对点的矩 举例：用扳手转动螺母 拧动螺母的作用不仅与力的大小有关，而且与点到力的作用线的垂直距离有关。因此可用两者的乘积来度量，同时，力使扳手绕点转动的方向不同，作用效果也不同。 由此可见，力使物体绕点转动的效果，完全由下列两个因素决定： 力的大小与力臂的乘积； 力使物体绕点转动的方向。 这两个因素用一个代数量包括无遗，称为力对点的矩(Moment of force about a point)，简称力矩(Moment)。 推广到普遍情形。如图所示，平面上作用一力，在同平面内任取一点，称为矩心(Center of moment)。点到力的作用线的垂直距离称为力臂，则在平面问题中力对点的矩的定义如下： 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积。它的正负按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向为正，反之为负。 力对点的矩以符号表示，即 力对点的矩的大小也可由三角形面积的两倍来表示，即 力矩的单位是或。 综上所述可知： 力对点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关； 力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变。因为此时力和力臂的大小均未改变； 力的作用线通过矩心时，力矩等于零； 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。 例３-1、正平行六面体，重为，边长，今将其斜放，使它的底面与水平面成角。试求其重力对棱的力矩。 解：时 当与地面垂直时，力经过点， 此时 二、力偶与力偶矩 实例： 作用一对等值反向的平行力，合力虽然等于零，但由于不共线而不能相互平衡，能使物体改变转动状态。 由两个大小相等、作用线不重合的反向平行力组成的力系，称为力偶(Couple)。记为。力偶中两力所在的平面叫做力偶作用面，两力作用线间的垂直距离叫力偶臂，用表示。 如何度量力偶对物体的作用效应呢？显然可用力偶中两个力对矩心的力矩之和来度量。如图，在力偶平面内任取一点为矩心，设点与力作用线的距离为，则力偶的两个力对于点之矩的和为 由此可见，力偶对矩心点的力矩只与力和力偶臂的大小有关，而与矩心的位置无关。即力偶对物体的转动效应只取决于力的大小和二力之间的垂直距离（力偶臂）。因此，在力学上以乘积作为度量力偶对物体的转动效应的物理量，称为力偶矩(Moment of a couple)，以符号或表示，即 式中的正负号表示力偶的转动方向，即逆时针方向转动时为正；顺时针转动时为负。由此可见，在平面内，力偶矩是代数量。 力偶矩也可用三角形面积表示 力偶矩的单位也是或。 综上所述，力偶对物体的作用效应，取决于下列三要素： 力偶矩的大小； 力偶的转向； 力偶的作用面。 以上三要素称为力偶的三要素(Three elements of a couple)。 三、力偶的等效 力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。力偶只能跟力偶所平衡。即力偶不能与力平衡，只能与另一个力偶等效。而力偶以物体的转动效应又完全取决于力偶矩，且与矩心的位置无关。故 在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等，转动方向相同，则两力偶必等效。称为平面力偶的等效定理。 综上所述，可得下列两个重要推论： 力偶可在其作用面内任意移转，而不影响它对物体的效应。 在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶矩的大小和力的大小而不影晌它对物体的效应。 注意：以上结论不适用于变形效应的研究，如下图的力偶，如变换为力偶矩相等的力偶，尽管对梁的平衡无影晌，但对梁的变形效应肯定有影晌。 3-2平面力偶系的合成与平衡 作用在物体上同平面内的许多力偶称为平面力偶系(Coplanar couple system)，如多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件被加工的平面上就是受到平面力偶系的作用。 设有同一平面内的两个力偶和，它们的力偶臂各为和，其力偶矩分别为和。 在力偶的作用面内任取一线段，在不改变力偶矩的条件下，将各力偶的臂都化为，于是得到与原力偶等效的两个力偶和，和的大小可由下式算出： 然后移转各力偶使其力偶臂都与重合（如图）。再将作用于点的各力合成，这些力沿同一直线作用，可得合力，其大小为 同样，可将作用于点的各力合成为一个合力，它与力大小相等，方向相反，且不在同一条直线上。因此力和组成一个力偶。此即为两个力偶的合力偶，其力偶矩为 若作用在同一平面内有个力偶，则其合力偶矩应为 由上可知，平面力偶系