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《信号处理原理》思考题四 1．根据信号绘图 （1）原信号减去，绘出差信号的时域图。 （2）信号的频谱为，通过理想低通滤波器，频谱只剩下了主瓣 （3）将滤波器滤波后的信号与相乘得，绘出的频谱。 （4）原频谱以为周期进行周期重复。 解：（1）差信号是一个矩形信号，即。可参见教材第9页的内容。 （2）的频谱函数为，在通过如题的理想低通滤波器后，频谱只剩下了主瓣（范围为），可参见教材第60页和83页的内容。 （3）因为，而，所以 的频谱是原先的频谱在和处分别重复，但幅度缩小到原先的0.5倍。可参见教材第63页到64页的内容。 （4）新的抽样信号的频谱是原频谱以为周期进行周期重复，幅度是原先频谱的分之一。可参见教材第74页的内容。 2．，有，求。 解：根据FT变换的`线性性、频域卷积定理，卷积的分配律，函数频移特性,的FT（由直流信号的FT，FT的搬移特性和线性性、欧拉公式等求出） ] ] 3．证明： , 证明： [] []+[]] [[] 4．证明：奇周期信号的傅立叶级数是否含有余弦项。 解：不会含有余弦项，因为： 根据傅立叶级数的定义，余弦分量的系数为： 由于f(t)是奇函数，所以还是奇函数，于是0- 即，周期奇函数的傅立叶级数中不含余弦项。 5．设是偶序列，用Z变换的定义证明：是的零点，则也是的零点。 证明：因为x(n)=x (-n)，由z变换的定义有： 令,得 所以有：，即也是X(z)的一个零点。 6．设一个有限频率信号的最高频率为，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率。 （1） （2） （3） （4） 解1）：信号时域压缩则频域扩展，所以的最高频率是原来的3倍，即3，于是 2）信号时域相乘则频域卷积，因此有： []= 由图解法可知 的最高频率成分为，所以 3）信号时域卷积则频域相乘 [][ ] 由信号（函数）的乘法运算性质知，这相当于在频域进行一种加窗作用，所以 []的最高频率成分为即的最高频率，所以 4）由信号（函数）的加法运算性质与FT变换的线形性知，的最高频率为，所以 7．已知差分方程， （1）求 （2），求的Z变换。 （3）画出Y(z)的极点分布图。 解：1）将差分方程两边取Z变换，并利用位移特性，得到 所以， 2） 差分方程可化为, 于是对方程两边分别取Z变换，可得 即 3）由上可知，Y(z)有两个一阶极点：， 8．设的双边Z变换，用ZT的定义求下列变换。 （1） （2） （3）,其中， 解：1）根据双边Z变换的定义，可得 Z [x(n+m)] 2）根据双边Z变换的定义可得 所以， 3）根据双边Z变换的定义 ，可得： 9．一连续信号，求下列信号与原信号有何不同。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：(1) 截取在0 ~ T之间的波形，得到一个片段（表示为新信号。 （2）将信号搬移到nT处，即得。 （3）将信号以T为周期进行重复（或者延拓） （4）对信号以T为周期进行理想采样，得到一系列冲击值。 （5）筛选出信号在nT的值 （6）把 信号在所有时间值为T的整数倍处的取值加起来，即 10．下列说法不正确的是：（ 8 ） （1） （2）信号的时移只会改变相位谱，不会改变幅度谱。 （3） （4） （5）时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩，因此不可能同时压缩等效脉宽和等效带宽。 （6）工程上，将信号与三角函数相乘 （7）时域周期离散，频域周期离散；时域连续非周期，频域连续非周期。 （8），a为非零整数。 11．求在不同收敛域情况下的Z变换。 解：上式可化为： 得： 可求出： 于是，可以将展开为： 由于序列是因果的（），所以 12．用长除法求，，收敛域为。 解：由于X (z)的收敛域是，所以必然是因果序列，此时X (z)按z的降幂列成下列形式，,然后进行长除 得： 所以 13．，求收敛域及各种序列收敛域的可能性。 解： 有4个极点-1，1，-2，2。 当收敛域，对应左边序列（非因果序列），n可以取很小的负值。 当收敛域，对应右边序列（因果序列），n不可能为负值。 当收敛域，对应双边序列，n可以取。 注意：双边Z变换：，Z的收敛域确定后，序列下