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2009—2010年高考模拟试题压轴大题选编（一） 2009-11-29 1.（重庆八中高2010级高三（上）第一次月考）已知在数列中，，其中， 是函数的一个极值点. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：. 解答. (1) 由题意得： ，即 故，则当时，数列是以 为首项，为公比的等比数列，所以 由 此式对也成立，所以――――――――6分 （2），因为，所以， 则 ，有 故 ―――――――12分 2.（南充高中2010届高三第二次月考）已知函数 f(x)=，其中n． （1）求函数f(x)的极大值和极小值； （2）设函数f(x)取得极大值时x=，令=23，=，若p≤q对一切n∈N＋恒成立，求实数p和q的取值范围． 解答（1） =，……1分 =。……2分 令 ，从而x1x2x3. 当n为偶数时f(x)的增减如下表 x （-∞，0） 0 （0，） （，1） 1 （0，+∞） + 0 + 0 — 0 + 无极值 极大值 极小值 所以当x=时，y极大=；当x=1时，y极小=0. ……5分 当n为奇数时f(x)的增减如下表 x （-∞，0） 0 （0，） （，1） 1 （0，+∞） + 0 + 0 — 0 — 无极值 极大值 无极值 所以当x=时，y极大=。……8分 （2）由（1）知f(x)在x=时取得最大值。所以=， =23=， =。 ，即； 所以实数p和q的取值范围分别是，。……14 3.(2010届扬州市高三数学学情调研测试) 已知数列，设 ，数列。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 解答：（1）由题意知， ∴数列的等差数列 （2）由（1）知， 于是 两式相减得 （3） ∴当n=1时， 当∴当n=1时，取最大值是 又 即 4.(安徽省野寨中学2010届高三第二次月考)已知函数.　 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）若在[0，2]上是增函数，是方程的一个实根，求证：； （2）若的图象上任意不同两点的连线斜率小于1，求实数的取值范围. 解答：（1） 　　　由题可知在[0，2]上恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时此式显然成立，；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时有恒成立，易见应当有， 可见在[0，2]上恒成立，须有 又 （2）设是图象上的两个不同点，则 　　　　　　　 　　　　　　　此式对于恒成立，从而 此式对于也恒成立，从而 注：用导数方法求解略，按相应步骤给分. w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.(衡阳市八中2010届高三第二次月考数学（理科）设函数＞， (1) 求函数的极大值与极小值； (2) 若对函数的，总存在相应的，使得成立，求实数a的取值范围. 解答(1)定义域为R -3 — 0 + 0 — ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 令，且 ∴：极大值为，极小值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)依题意，只需在区间上有 ∴在↑，↓取小值或 又 ∴当＜＜时，当时， 又在↓ ∴ 式即为 ＜＜ 或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ＜＜ 解的 （无解） ∴ 6.(辽宁省东北育才学校2010届高三第一次模拟（数学理） 已知函数 （Ⅰ）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）当时，求函数的最大值； （Ⅲ）当时，且，证明：. 解答：（1）， ∴ 因为对，有 ∴不存在实数使，对恒成立 ………2分 由恒成立，∴， 而，所以 经检验，当时，对恒成立。 ∴当时，为定义域上的单调增函数 ………4分 （2）当时，由，得 当时，，当时， ∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为 ………7分 （3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，，∵， ∴ ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 同理可得 ， ∴ ………12分 法二